540 L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Varia. 



donec ultimus denominator sit =1. Patet autem hunc numerum fore impariter parem, totidemque a habebit 

 radices, quot unitates in isto numero continentur. Quia autem inter has radices quaelibet habet sui negalivam, 

 omnes potestates impares ipsius a in aequatione deerunt; ultimus vero terminus absolutus, propterea quod est 

 factum ex omnibus valoribus ipsius a, inter quos bini inter se sunt aequales et alter alterius negalivus, erit 

 quadratum negativum, cujus radix assignabilis erit per coefficientes q,r,s, elc. Definietur ergo a per hujus- 

 modi aequationem 



quae semper unam saltem radicem habebit realem; quod sic ostendo: Ponatur a = oo, fietque illa expressio 

 a^'" -f- /a*'" ~ * -H . . . — uu = oo. Tum ponatur a = 0, fietque eadem expressio = — uu. Tribuendis ergo 

 ipsi a valoribus mediis inter et oo, expressio ipsa induet omnes valores possibiles medios inter oo et — uu; 

 dabitur ergo valor loco a substituendus, qui reddet expressionis valorem =0, isque erit radix ipsius a. Casus 

 tantum excipi debet, qua»n=l, sed non dubito, quin ista demonstratio ita adornari possit, ut nihil contra 

 excipi queat. 



Non perspicio, quam ob causam dubites, an hujus differentialis PRdx-\- QRdy integrale exhiberi queat, 

 etiamsi sit diff. PRdx = d\ff.QRdy, illa scilicet differentiatione ponendo a?, in hac vero y constantem. Quodsi 

 enim hoc criterium locum habuerit, integrale non solum mihi videtur assignari posse, sed etiam revera id sal- 

 tem ope quadralurarum exhibere valeo. Integretur enim differentiale PRdx spectando y tanquam constantem, 

 ila ut integrale evanescat ponendo a; = 0, quod integrale sit = Z. Tum in differentiali QRdy ponatur a7 = 0, 

 atque id integretur, ponaturque integrale = F; quo facto formulae differentialis PRdx^QRdy integrale erit 

 = Z-+- F. Demonstratio per ea, quae Tu, Vir Excellentissime, docuisti, est facilis, namque differentiando Z-i- Y 

 Tua methodo, ilerum prodit differentiale propositum. Jam dudum autem perspexi hanc speculationem penitus 

 incidere in sohitionem problematis: Data aequatione differentiali dx = pdy iricompleta, invenire ejus completam 

 dx= pdy -t-gda, quod a, Te primum fuisse solutum admonui D""^ Clairaut aliosque Geometras Gallos, qui 

 hanc inventionem sibi vindicare voluerunt. Interim tamen non dubito, quin hic adhuc insignes proprietates la- 

 teant, quae si essent cognitae, ingens lumen in analysi accenderent, cujus rei, ut nuUus dubitandi locus relin- 

 quatur, communicabo Tecum solutionem problematis cujusdam mechanici, cujus evolutio universa ad hoc genus 

 pertinet; neque, antequam natura hujusmodi forraularum differentialium completarum uberius examinetur, ad 

 finem optatum perduci potest. 



Problema hoc est: Catenae uniformis ac perfecte flexilis, si super plano horizontali politissimo jacens utcunque 

 |»rojiciatur, assignare situm, figuram et motum ad quodvis temporis momenlum. SoluHo. Fig. 70. Sumto in plano 

 horizontali recta quacunque OZ pro axe, pervenerit elapso tempore 7 catena in situm AMR. Sit longiludo ca- 

 tenae AMR = a, posilaque ejus portione quacnnque AM=s, ducatur ad axem applicata MP, voceturque 

 OP = x, PM=y. Perspicuum jam est a; et y esse oportere functiones binarum variabiiium s et t, pariter ac 

 angulum AMP qui vocetur = rp, Sit igitur differentiando dx = ds sin f -i- Mdl et dy = ds cos (p -i- Ndt , quia po- 

 sito / constante esse dehet dx^ -h: dy^ = ds^. His positis erit primo, ponendo t constans, 



_ . o f'^ sjdssmm . , o r(* — s)dscosq> m ^ a /•»d.»sinm 



Oa = at-^^ — 1 ^ i Aa = yt-\-8 — / ^ y Ob = at -\- ^ -\- J 



■n, o rsdscostp 



6t Bh = yt-v-8 -\- j — ^— ^ , 



posito post singulas has integrationes s = a. Porro, si fuerit posito s constante dM=Pdt et dN=Qdt, erit 



sin f fPds 



cosy jQdt 



