546 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. 



pisset, mirum non est» quod errorem proflteri nunquam voluerit. Ob eandem autem causam omnes occasiones 

 data opera evito, meam sententiam de ista solutione indicandi. Tibi autem, Vir Celeb. , maximas gratias habeo, 

 quod Tunm judicium cum tam egregiis animadversionibus mecum communicare volueris. Saepenumero certe dif- 

 ficillimum est dignoscere, utrum formulae cujuspiam inventae valor sit maximus au^minimus, praesertim si plu- 

 res quantitates indefinitae in eam ingredianlur. Tanta est enim afTinitas inter maximum et minimum, ut eadem 



quantitas seu functio V, quae formulam ^ -f- F reddat maximara, eadem hanc formulam solo signo mutato A— V 



^ ^ - r- ntb ' ! - h » ° 



exhibeat minimam. Sic cum aequatio "^ju 



, pdx 



dy = 



V(aa — pp) 

 praebeat maxiraum yprft/ , vicissim haec aequatio 



quae quidem in illa ob signi radicalis arabiguitatem jam continelur, J^pdy faciet minimum, quod clarius patebil 

 si, uti fecisti, pro p scribatur pzizc. 



Quod ad valorem seriei divergentis 1 — 1-+-2 — 6-1-24 — 120-+- etc. attinet, puto equidem dari lineam 

 curvam, cujus abscissa si fuerit =a7, applicata esse queat 



y^x—lx^-t-^x^ — Qx^^-^^h-x^-^i^Ox^-^ etc. 

 unde si in hac curva ponatur abscissa x = i , applicata y exhibebit valorem seriei 



io— '^\^\<I--i«V Xt*^iH-^2 — 6-1-24 — 120-1- etc. 



Potest autem natura hujus curvae per aequationem differentialem exprimi. Cum enim sit 



^ = 1 — 2a? -H 6a?* — 24a;» -i- 120a;* — 720a;5 -i- etc. 



erit ob utriusque seriei «imilitudinem 



dy X — V , ydx dx 



— = 9 seu dy-i = — , tuIou, • 



dx XX XX X ' 



quae est aequatio dififerentialis pro curva quaesita, cujus integrale, si e denotat numerum, cujus logarithmus 



== i, eril 



JL 



quod integrale ita sumi debet, ut evanescat posUo x = 0; erit ergo hinc 



i_ 



-^ re '^ dx 



*=' /-^— • 



faujusque proinde expressionis valor facto x = l dabit valorem seriei propositae. Erit ergo summa seriei propositae 



1 



dx re '^ dx 



... re "^ dx re 



09010) ,1«ovjinii flinJ^Wii rduii j)i;j)m»n "*/ ^J "" 



posito post mtegrationem x=i. Ponatur e '^ =z; erit posito x = 0, z = 0, et posito ic = 1 , z=i- ande 



_ ) integrali ita sumto, ut evanescat posito js = 0, deinde vero facto «= I, Sit porro 



- — <d« •>■'' i;':"-" •■ ^ nvMii u 



-8.==1 — <, erit summa seriei = / — r> integrali ita sumto, ut evanescat posito <=1, tumque facto 



tz^O, Jam ob l < t 



