550 L. EULERl OPERA POSTHUMA. Varia. 



B. Duae litlerae ad Fredericumjll, Regem Borussorum, daUe annis 1749 et 1763. 



_- \ , Sire, 



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Ayant fait 1'examen de 1a loterie ilalienne dont V. M. a bien voulu me charger si grdcieusement , j'ai pre- 

 mierement determine combien chaqiie joueur devrait payer pour que Vavantage fAt egal tant pour le banquier 

 que pour le joueur, d*ou ron connaitra d'abord, combien le banquier doit gagner probablement, si le joueur 

 est oblige de payer ptus que regalile du jeu ne demande. 



Suivant le projet, on fait 90 billets marques des nombres 1, 2, 3, 4 elc. jusqu'a 90, dont on ne tire que 

 5 au hasard, lorsqu'on juge quuu assez grand nombre de joueurs s'est engage. Or on peut prendre part A 

 ce jeu de plusieurs manieres differenles, selon que chaque joueur le trouve convenable. 



La 1^"^® est: le joueur choisit k volonte un numero des 90 proposes, et il determine lui-m^me le gain qu'il 

 veut avoir en cas que son nombre se trouve parmi les 5 billets qu'on tirera k la loterie; et en proportion 

 du gain qu'il attend, il est oblige de payer une certaine somme d'argent. Supposant que le joueur fasse pre- 

 tention k un gain de 100 ecus; pour que le parti soit egal, il devrait payer la 18^*"^ partie de 100 ecus, c'est 

 a dire 5 Rthlr. 1.3 gr. 4 pf. Or selon le projet, il doil payer 8 Rthlr. Donc la banque doit s'attendre k un 

 profit de 44 p. cent. II en sera de meme de tous les autres prix que les joueurs demandent par cette ma- 

 niere de jouer. Comme si quelqu'un vouloit gagner 1000 ecus, en cas que son nombre se trouvAt parmi les 

 5 qui se tirent, il serait oblige de payer davance, pour obtenir cette condition, 80 ecus, et ainsi des autres 

 prix, plus hauts ou plus bas, que les joiwurs pourroient choisir. 



La 2^^ maniere de jouer se fail pas les ambes, ensorte que le joueur choisit deux nombres k la fois, et 

 determine lui m^me le prix qu'il veut gagner, en cas que tous les deux nombres se trouvent parmi les cinq 

 numeros qu'on tirera au jour de la loterie. La probabilit^ que deux nombres, choisis k plaisir, se rencontrent 

 dans les 5 qu'Oh tire au hasfard des 90, n'6tant que ou — -» pour que le parti fut egal, il ne devrait 



payer que — parties du prix auquel il prelend, c'est h dire, s'il demande un prix de 100 ecus, il ne paie- 



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 roit que 5 gr, 11— pf. ou 6 gr. k peu pres. Or, selon le projet, !a mise, pour avoir ce gain, est 14 gr., 



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 donc la banque gagneroit 133— p. cenf. Or comme ce profit seroit trop considerable, pour mieux encourager 



les joueurs, on leur accorde 20 p. cent sur chaque prix qu'ils gagneront par une ambe^ c'est a dire, au lieu 

 de 100 ecus, on leur promet de pajer 120 ecus en cas que leur ambe vieime k gagner,^ et partant la banque 

 profitera probablement 94-^ p. cent,^,^^^,^^^ ^^,^g ^gl^^j^^^^j ^^,,.^ m«Infa9dr»« orqiDaB. .iJulo^dfi .ai 

 .nnvih^ 3^*"^ maniere de participer k cetle loterie «it jpas ternes, ou le joueur se choisii 3 aombres k la fois, 



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*) Responslo ad sequens rescriptum regium: «Sa IMajeste le Roi de Prusse, notre tr^s gradeux Souverain, fait enyoyer, 



ci-joint au Professeur Euler le projet d'une lolerie, etablie dans la plupart des villes considerables d'Italie, el 



qui a ete presenle k Sa Majeste par nn certain Roccolini, pour examiner arec exaclitude les calculs algebriqups 



qui enlrent dans toutes les pi^ces de ce projet; mais sourtout de bien approfondir par Talg^bre tous iM hasards que 



Tenlrepreneur d'une pareille loterie peut courir, el de mdme les profils qu'il pourroit faire par l^, et den faire, 



aus8it6t que faire se pourra, son tr6s humble rapport k Sa Majesle. A Potsdam le 15 septembre 1749. 



„ -' .'^ignatum: Federic. 



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P. 8. En cas que le dit Professear Euler ait encore besoin de quelques lumi^res touchant ce projet, il pburra s^adresser 

 pour cet effet au Lieutenant>g^neral Comte deMottembourg.» 



