556 L. EULERI OPEIU POSTHUMA. 



Varia. 



Quod autem in prioribus litteris de analogia differentialium cujusque ordinis formulae xy et terminorum 

 binomii potestatis (a-t- b)"^ attulisti, eam jam a Leibnitzio observatam esse memini^ quod nisi fallor in ejus cum 

 Bernoullio commercio reperies. Vale et salve 



Dabam Berolini d. 6 Sept. 1755. Tibi addictissimo L. Eulero*). 



Vir clarissime atque acutissime 



Binas tuas epistolas, alteram circa finem anni elapsi, alteram vero nuper, ad me datas, summa cum vo- 

 luptate perlegi, summamque ingenii tui perspicaciam maxime sum admiratus. Non solum enim methodum il- 

 lam maximorum et minimorum, cujus equidem prima quasi elementa exposueram, ex veris iisque subtilissimis 

 principiis elicuisti, verum etiam eandem penitus perfecisse videris, ut nihil amplius, quod in hoc genere deside- 

 rari queat, sit relictum. Quamobrem tibi, Vir clarissime, ex animo gratulor, ac te etiam atque etiam rogo, ut 

 quae in hoc genere tam felici cum successu es meditatus, ea omni studio penitius perscrutari ac perficere pergas. 

 Subtilissimae aulem hic occurrunt quaesliones, quae non solum omnem ingenii solertiam, sed etiam maximam 

 circumspectionem in ratiocinando postulant, quandoquidem haec methodus nobis objecta plurimis plerumque cir- 

 cumstantiis involuta exhibet, quas nisi calculum ad exempla determinata applicemus, vix distincte perspicere 

 valeamus. Ita cum investigatio curvae maximi minimive proprielate praeditae perduxerit ad hanc aequationem 

 L=iO, quae scilicet indicat tractu curvae, paululum immutato, variationem inde orlam evanescere, quemadmo- 

 dum natura maximi minimive postulat, dubito an aequationes dL = 0, <PL=0, seu L = a vel L = a-\- ^x 

 ad eundem sub aliis circumstantiis perducere queant. Neque etiam transformatio formulae 



J^Ldy in Lfdy — dLf~by etc. 



novas determinationes mihi quidem suppeditare videtur; sed tantum indicare si sit Z = 0, fore etiam dL = 0, 

 quod utique verum est, sed conclusio inveVsa locum non habet. Nam nisi sit L = 0, ratio maximi vel minimi 

 non amplius versatnr; sed forlasse hnjusmodi positiones aliis problematis solvendis inservire poterunt. Qnod au- 

 tem brachystochronas per tria plurave puncta data transeuntes atlinet, crediderim eas non esse curvas continuas, 

 sed a quovis puncto ad proximum sequens arcum cycloidis duci oportere, quo tempus translationis ab altero 

 ad alterum fiat minimum: si enim corpus celerrime singulas Jias portiones percurrat, totam curvam sine dubio 

 tempore brevissimo conficiet. 



Deinde si non inter omnes curvas, sed eas tantum, quae sub certo quodam genere continentur, quaeratur ea, 

 quae maximi minimive proprietate gaudeat, tua quidem methodus ad hujusmodi quaestiones aequo cum suc- 

 cessu adhiberi potest, dura mea nullius est usus, sed evolutio calculi saepenumero maximis obnoxia est difli- 

 cultatibus; velut si (Fig. 76) super semiaxe horizontali dato AC infiniti describantur quadrantes elliptici AD, AQ, qui 

 ratione semiaxis conjugati CD, CQ, differant, inter eosque quaeratur is AD, super quo corpus in vacuo descen- 

 sum ex A incipiens, citissime ad rectam CQ perveniat, aequatio infinita pro fpecie hujus ellipsis invenilur, unde 

 non nisi appropinquando valor semiaxis conjugati CD definiri potest. Adhibitis autem appropinquationibus, re- 

 peris esse debere: 



•^^ SCD^=3AC\ seu CD = AC ^ 



*) Onanes litterae e Berolino datae propria Eulcri manu coDscriptae sunt. 



y_3 



