Lillerae ad cel. Lagrange datae, 565 



, dv „ , dv , dv t, , dv , r dv dv^ . f .dv - dv~\ 



du = adx \- Bdt — -\- ydx ---t-ddt — = dx\a---\-y— \-^dt\3—~^8—-\ 



dp ' dp ' dq dq l. dp ' dqj L dp djj 



d'ou il s'ensuit pour les substitutions dont j'ai besoin, 



A present M. d'Alembert ne saurait disconvenir que Tintegration de cette formule en ne prenant que p 



variable ne donne: 



dr ■ t 



«t faisant ensuite varier q 



r = g>:q-i-i/):p = (p: {x — tya) -t-yj:{x-t- fya) 



ou les fonctions sont absolument indeterminees et d^pendent entierement de notre volonte, de sorte que la 

 construction generale puisse se faire par deux courbes decrites h plaisir; Tappliquee de Tune donnant 9 : {x — iVa) 

 pour Tabscisse x — tVa et celle de Tautre ip : {x-\- tYa) pour Tabscisse x -t- tVa. 



Mais si Ton demandait une integrale complete pareille pour le cas ou a serait une quantite negative — b 

 je ne vois pas comment on pourrait la representer par des courbes arbitraires, puis pu'on ne saurait y assigner 

 les appliquees qui repondent k des abcisses imaginaires. 



La reduction aux arcs de cercle en posant: 



x = wcoB(p et tVb^vsmf 

 qui donnerait: 



r =A-i- Bvcosq)-t-Cy^ co8 2q)-t-. ,, , 



H- 4 i' sin^) -+- 6v* sin 290 Hh . . . . 



quelque soit le nombre des termes qu*on prenne, ne saurait jamais produire une solution generale en sorte 

 que posant < = il en resulte entre r et a; une relation donnee exprimee par quelque courbe decrite k volonte. 



Pour le probleme des isoperimetres pris dans sa plus grande etendue c'est h vous que nous sommes re- 

 devables de sa plus parfaite solution et je suis bien surpris de voir avec quelle adresse vous Tavez ^tendu k 

 des surfaces et m^me k des polygones. Vous conviendrez que ces recherches profondes meriteraient un deve- 

 loppement plus detaille. II est facheux que la solution du cas ou Ton demande entre tous les solides de la 

 m^me capacite celui, dont la surfaee est la plus petite, conduise k une equalion presqu'absoIument intraitable: 

 on voit bien que les surfaces spheriques et cylindriques y sont comprises sans 6tre en etat de les en conclure. 

 Les corps ont des bizarreries qui ne se trouvent pas dans les surfaces: quoique tous les cotes d'un polygone 

 et mSme leur ordre soient donnes, la figure est encore susceptible d'une infinite de determinations ; mais dans 

 un polycdre, des qu'on connoit toutes les hedres (faces), avec leur ordre, le corps est entierement determine. 



De plus on ne saurait assigner deux courbes differentes qui aient pour toutes les abcisses des arcs egaux; 

 mais on peut toujours trouver une infinit^ de surfaces differentes ou les elemens dxdyV 1 -t- p"^ -^ q^ soient les 

 m^mes. Ainsi les surfaces coniques dont Taxe est perpendiculaire h la base, conviennent avec une surface 



