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plane; et les corps exprimes par ces equations ar — xy et 2ar = x^~\-y^ ont leiirs surfaces 6gales puisque 

 p2-f-g* est le m^me de part et d'autre, on trouve m^me aisement une infinite d'autres surfaces de m^me na- 

 ture ou Ton peut introduire des fonctions arbitraires et discontinues. II est plus diflicile de trouver des corps 

 dont la. surface convienne k celle de la sphere. II sagit de trouver une equation integrable dr = pdcc -t- qdy 

 telle que Ton ait 



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Je peux bien definir toutes les fonctions possibles pour p et q mais je n'en peux tirer aucune dont Tequation 

 entre x et r devienne algebrique. Cest encore un sujet qui demande la nouvelle branche de Tanalyse qui 

 roule sur les fonctions de deux ou plusieurs variables, etant donne de certains rapports entre leurs differentielles. 



A Tegard du probleme du mouvement d'un corps attire vers deux points fixes, en raison inverse du carre 

 des distances, j'ai trouve moyen de construire la courbe que le corps d^crit lors meme qu'elle n'esl pas dans 

 un m6me plan, et j'ai observe ime infinite de cas ou la courbe devient algebrique, outre ceux de rellipse et 

 de rhyperbole dont les foyers tombent aux deux points fixes. 



J'ai rhonneur d'^tre avec la plus haute consideralion 



Monsieur 



Votre tres humble et tres obeissant serviteur 



Berlin le 9 novembre 1762. L. E u 1 e r. 



9. 



Monsieur, 



La gracieuse declaration que vous venez de me faire de la part de la societe royale de Turin devait sans 

 doute faire sur mon esprit la plus vive impression; aussi suis-je penetre de la plus respectueuse reconnois- 

 sance: ce que je vous prie de lui temoigner, avec la plus forte assurance, que je saisirai avec le plus grand 

 empressement tputes les occasions ou je serai capable de rendre quelque «ervice k cette illustre soci^te, k la^ 

 quelle je prend la liberte de presenter les pieces ci-joints, dont deux aussi roulent sur le mouvement des cordes, 

 M. d'Alembert m'a aussi fait quantite d'objections sur ce sujet. Mais je vous avoue qu'elles ne me paroissent 

 pas assez fortes pour renverser notre solution. Le grand genie me parait un peu trop enclin k detruire tout 

 ce qui n'est pas conslruit par Iui-m6me. Quand la figure iniliale de la corde n'est pas telle qu'il pretend qu'elle 

 devrait ^tre, je ne saurais me persuader que son mouvement fut different de celui que notre solution lui assigne; 

 et si M. d'AIembert soulient que dans ce cas le mouvement ne saurait etre compris sous la loi de continuite, 

 je lui accorde tres volontiers cette remarque, mais je soutiens h mon tour, que ma solution donne ce raouve-' 

 ment discontinu. Car les equations differentielles a trois ou plusieurs variables ont pour propriele essentielle, 

 que leurs integrales renferment des fonctions arbilraires qui peuvent aussi bien Stre discontinues que continues, 



Apres cette remarque je vous accorde aisement, Monsieur, que, pour que le mouvement de la corde soit 



d'^0 d*u tf^w 

 conforme k la lois de continuit^, il faut que dans la figure initiales les —j —r -z-. etc. soient =^ aux deux 



diC CUV tUX^ 



extrdmites: mais quoique ces conditions n^aient pas lieu, je crois pouvoir soutenir que notre solution donnera 

 neanmoins le veritable mouvement de la corde, car dans ces cas il y aura bien quelqu'erreur dans la deter- 

 mination du mouvement des elements extrSmes de la corde, mais par cette mdme raison, Terreur sera infinj- 

 ment petite et partant nuUe. 



