LiUerae ad cel. Lagrange datae. 571 



13. 



Monsieur et tres-cher Confrere, 



Je fiuis extr^raement ravi, que vous avez re^u avec tant de bont^ nion ouvrage 6ur le calcul integral ; j'ai 

 tach^ d'y ramasser tout ce que j'ai observ^ de remarquable sur ce sujct. J'espere vous envoyer au plutdt la 

 Iir partie de cet ouvrage ; elles vous appartient presqu^uniquement et je ne doute pas que vous ne la portiez 

 bient^t h un plus haut degre de perfection. 



M. Formey m'a envoye les feuilles du dernier volume des Memoires de Berlin, qui contiennent les excel- 

 lentes pieces dont vous me parlez dans votre lettre. Comme je ne suis pas en etat de lire moi-m^me^ j'ai prie 

 notre habile M. Lexell de m'en faire la lecture, qne j'ai entendu avec la plus grande avidit^. J'ai admire non 

 seulement la profondeur de vos recherches, mais aussi et surtout leur multiplicit^, qui atirait fourni ^ tout 

 autre dequoi remplir une douzaime d'excellens Memoires differents. Vous savez, Mon«ieur, que jai beaucoup 

 travaille sur cetle espece d'Analyse, et que j'en connais parfaitement toutes les diflicultes, et partant j'ai vu 

 avec la plus grande satisfaclion que vous en avez surmonte quelques unes, tres heureusement. La methode 

 que vous employez pour resoudre Tequation A — pp ± Bqq est dautant plus ingenieuse qu'elles ne suppose 

 rien qui ne soit fonde que sur Tinduction. J'ai ete curieux d'appliquer d'abord vos methodes k des exemples 

 qui ont pour la plupart tres bien reussi ; mais Texemple suivant m'a cause quelque embarras ; il s'agit de 

 resoudre en nombres entiers cette 6quation 



101 =PiP — X^qq- 



101 

 Selon votre melhode il faut donc chercher un nombre a plus pelit que — > tel que aa — 13 soit divisible 



par 101, j'ai trouve a = 35 et de la A= i2=p^— 13.?*, pendant que i4* = 101 et 5=13; dou lon 

 tire p' = 5 et q = 1 : donc selon votre methode on trouverait : 



ap^z^Bq' 35.5q=13 . ^ ««'=pp'_ 35h=5 . ., .,,,.. ,.i ,,.. 

 P = —Y- = —27- '* ? = -^- - -W' ,, '. 



et partant tea notnbres n'etant pas entiers on devrait conclure que ce cas n'est pas possible ; cependant on 

 satisfait k cetle question en prenant p = 123 et q = 34, ce qui me faisait croire que votre methode etait 

 insufQsante. pwuq «vv^I — -idh^ 101 ,»ii»a»b-i?» 



Mais en ecrivant ceci, je vois que je n'ai pas assez bien observe les pr^ceptes que vous donnez : car 



12 

 puisque A' = 12. est divisible par le carre 4, il faut poser — = 3=«— 13um ce qui donne /=4 et u=l, 



d'ou Ton tire p = S et q =2, el alors on aura * 



35.8=^:13 2 140=pl3 , 35. «=^8 35q=4. 



p= — ^^_ = -^,et? = -^ =— , ,o«H,« 



or ces formules ne sauraient non plus donner des nombres entiers. Cependant je vois bien qu'on parviendrait 

 h ma solution si on prenait p' = 47 et q' = 13 parsque 12 = 47* — 13.13* = 2209 — 2197, car on 

 tirerait de la : 



35. 47q= .13.13. . 35.13q=47 



P= 12^ ^*^=— T2— ' 



ou les «ignes superieures donnent /7=123 et ^ = 34. Mais quelle raison noiis conduit ^ snpposer 



Til •»«0' >•.» :? 'ij»,/ i''fittu "•■ 



p = V7 et q =U? 



.Vif,;;c. 



