572 L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Varia. 



J'ai aussi fort admire votre methode demployer les nombres irrationnels et m^me les imaginaires dans 

 cette espece d'Analyse attachee uniquement aux nombres rationnels, 11 y a dej^ quelques annees que j'ai eu 

 des idees semblables, mais je n'ai encore rien donne la-dessus ni dans nos Commentaires, ni dans les Memoires 

 de Berlin ; cependant j'ai publie ici une algebre complete en langue russe, j'y ai developpe cette matiere fort 

 au long et j'ai fait voir que pour resoudre Tequation 



XX -+• nyy = (pp ■+- nqg)^, 



on n'a qu'A resoodre celle-ci 



r ■' ' X -h- yV — n = (p -t- qV — 



A 



7rf '^ 5- 

 Cet ouvrage s'imprime actuellement aussi en allemand, en deux volumes in 8", et quand je vous expe- 



dierai le IIl® volume du calcul integral j'y ajouterai un exemplaire de cette algebre, soit en Bussc, soit en 



Allemand. 



Mais je n'y ai pas pousse mes recherches au dela des racines quarrees et Tapplication aux racines cubiques 



et ulteriei^res Ypu^ a ete reservee uniquement. C"est de l^ que j'ai tire cette formule tres remarquable 



" '"^' ' ■"• i x^ -+- ny^ -+ nnz^ — 3nxyz 



dont les trois facteurs sont 



X -i- yy n -t- zy n ; 



d'ou Ton voit qu'on peut toujours aisement determiner les lettres x. y. z. pour que cette formule devienne un 

 quarre, ou un cube, ou un quarre-quarre, au quelque puissance plus haute. Au reste pour juger si Tequation 

 A=pp ± Bqq est possible ou non, j'ai trouve cette regle pour les cas ou A est un nombre premier. 



«Otez du nombre A un multiple quelconque de 45 et toutes les fois que le reste est un nombre premier 

 ««, Tequation proposee sera possible si celle-ci a = pp z±z Bqq Vesi ; de plus, si le reste A — KnB devient un 

 •nombre abh tel , que a soit un nombre premier ; ou m6me Tunite, alors la possibitite ou rimpossibilite de 

 "requation a = pp — Bqq declare la nature de Tequation proposee.» 



Ainsi ayant Tequation 109 = pp — 7. 5^9, puisque 109 — 4.7 = 81 ou a = 1 6 = 9, je forme cette 

 equalion 1 = pp — T-gg, q"i etant possible, prouve la possibilite de la proposee ; et dans Texemple rapporte 

 ci-dessus, 101 = pp — i^qq, puisque 101 — 4.13 = 49 et partant a = 1, le jugement se r6duit k cette equa- 

 tion i =pp — iZqq, qui est possible sans doute ; mais je dois avouer, k ma confusion, que je ne saurais 

 demontrer cette regle ; et quand meme on en trouverait une demonstration, cela ne servirail en rien i la solu- 

 tion actuelle de Tequation A =pp — Bqq. 



J'attend avec la plus grande impatience le IV® volume des Memoires de Turin, que vous aurez la bonte, 

 Monsieur, de menvoyer, ne pouvant douter qu'il ne soit rempli de vos tres excellentes recherches ; je vous en 

 presente d'avance mes remerciments les plus empresses ayant Ihonneur d'etre avec la plus parfaite consi- 

 deration ""1 ««' "P ff'><<i <*<«'' % Jn«bfl'i r»»id«ion 



'«•» '^'' ' Monsieur, 



Votre tres humble serviteur 



L. Euler. 

 k St. Petersbourg, ce 1§ (27) janvier 1770. 



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Voici, Monsieur, et tres honor^ Confrere, un theor^me de la plus grande importance et un probl^me tres 

 difficile h resoudre. * 



