Lttterae ad ceL Lagrange datae. 573 



Theorkma. Si formula mxx-^nyy, co«u x = a et y = b, prebeat nnmenim primum a, tum omnes 

 numeri primi in formula a d= ktmp, quin etiam in hac formula generaliori aqq ± knrnp contenti, simul erunt 

 numeri formae mxx •+• nyy. 



NB. Deraonstratio adhuc desideratur. 



Pboblema. Envenire duos numeros quorum productum, tam summa quam differeetia sive auctum sive 

 minutum, flat quadratum. xy -i- x -+- y = U; xy — x — y = a; a?y-l-a; — y = D; xy — x -^y = D. 



SoLDTio. Quaerantur duo numerorum paria p, q et r, «, ut formulae 



2pq {pp — qq) {pp -H qq) et 2r« [rr — «») {rr ■+■ »«) 



teneant rationem quadrati ad quadratum. Tum enim numerorum quaesitorum 



'"' /«. _^ ««\ /..♦. _x- ..\ itaoilab a-jin %iol9Tli«B Ji«l 



,. jj (pp -*- qq) {rr -*- ss) 



aiier eni 2p?(rr — «») ab,«k*«|6a iaiift ;>( «wip Wlw »b »up 



(PP -*- qq) {rr -*- ss) Wp^ «lu^Ifi» atsl toluoox^ Tlioq 



alter vero = — ^-7 r— • , , . 



Conditio praescripta impletur sumendo p = 12, ^ = 1 ; et r = 16, » ='fl V fur^ feiil fttoim • "" ■- ' • "• 



> ftm iffp .'jqq»}| 



.- . . 2pg (pp — q q) {pp -»- qq) 1 » ' . 



.*fl«^..»W>b . 2r5(rr-,*)(rr-H«) " 36 — °^ »"P *> «oJlufo» 3ail 



'liiliMoq .oiaoldiTifl 9"} 

 „. . ... . 13 292 5. 292 



liinc ergo numeri quaesiti erunt ^3 -^ et anrTz' 



II y a quelques temps, Monsieur, que j'ai trouve une solution complete du probleme suivant : 



n s'agit de trouver trois fonclions x. y. z, des deux variables i et u, telles que posant jr , . , „ 



dx = Pdt -t- pdu ', dy = Qdl -♦- qdu : dz = Rdt -H rdu ; 



on satisfiasse aux conditions suivantes 



I. i>*-t-0'H-«' = l, ^^""^ ^^^^ ^ P^**^^^ 



II. p2 -H g* -H r* = 1 , 

 m. Pp -\- Qq -^ Rr = (S ; 



Or la nature des differentielles demande encore les conditions suivantes ..,,..^t.,., ,>,■„, ..^^1 .•Minjr: 



© = {% 

 "• {t) = {% 





">• (^:) = (S)' 



Comme une consid^ration tout k fait singuliere m'a conduit k la solution de ce probleme, que j*aurais d'ailleurs 

 cru impossible ; je crois que cette decouverte pourra devenir d'une grande importance dans la nouvelle partie 

 du Calcul Integral dont la geometrie vous est redevable. ••.irntfrTMngb rrf t; : .! fnoh 



L. Euler. 



