574 L. EULERI OPERA POSTHUMA. vaHa. 



Monsieur et tres honor^ confrere, 



Votre prompte reponse sur les remarques que j'avais eu rhonneur de vous communiquer m'a cause bien du 

 plaisir et je vous en suis infiniment oblige. Je me suis fait lire toutes les operations que vous avez faites sur 

 la formule 101 = pp — i^q, et je suis enlierement convaincu de leur solidile ; mais etant hors detat de lire 

 et d'ecrire moi m^me, je dois vous avouer que mon imagination n'a pas ete capable de saisir le fondement de 

 toules les reductions que vous avez ete oblige de faire et moins encore de fixer dans mon esprit la signifii- 

 cation de toutes les lettres que vous y avez introduites. II est bien vrai que des recherches semblables ont 

 fait autrefois mes delices et ra'ont coute bien du temps ; mais maintenant je ne saurais plus en entreprendre 

 que de celle6 que je suis capable de developper dans ma t^te, et souvant je suis oblige de recourir d un ami, 

 pour executer les calculs que mon imaginalion projette. 



Pour ce qui regarde le probleme de deux nombres dont, le produit augmente ou diminue de leur somme 

 ou de leur difference produise des quarres ; il m'a ete autrefois propose k Berlin par un Capitaine M. de 

 Happe, qui me dit Tavoir recu d'un ami de Leipzig, qui s'elait longlemps occupe inutilement k en trouver 

 une solution et que lui m^me y avait epuise ses forces sans aucun fruit. II m'a donc demande, si je croyois 

 ce probleme possible ou non. Je lui repondis d'abord que ce probleme me paraissait d'une nature singuliere 

 et qu'il surpassait m^me les regles connues de TAnalyse de Diophante ; en quoi je ne crois pas m'6tre tromp^. 

 Cependan^ apres quelques essais, j'ai trouve la solution que j'ai eu rhonneur de vous communiquer ; je croyais 

 presque que c'etait runique qu'on fut en etat d'en donncr. Mais depuis que j'ai eu Thonneur de vous ecrire, 

 ayant encore fixe mes recherches sur ce probleme, j'ai decouvert une route qui fournit une infinite de solutions. 

 Voici de quelle maniere je m'y suis pris. 



Posant les deux nombres cherches A et S, les premiers efforts fournissent d'abord ces formules 



. jpp -+- ss) {qq -4- rr) (pp -4- ss) (qq -4- rr) . 



Apqrs ' ipp — ss) {qq — rr) ' 



mais il est necessaire que cette formule 



{pp ■+• ss) {qq ■+- rr) 

 ' ipqrs [pp — ss) {qq -^rr) 



devienne un quarre, ce qui est sans doute exlr^mement difficile el au dessus de la methode ordinaire de Dio- 

 phante. Cependant en employant les substitutions suivantes 



p = mm -t- (m — n)* ; q z= mm -t- mn — nn = s el r = m {m — 2n) 



<;ette formule apres en avoir ole les facteurs quarres se reduit k celle-ci 



Smm — 6mn -i- 2nn 

 2n (2m -+- n) 



qu'il est aise de rendre quarree ; car faisant n =s= 2m — ?, elle devient 



.":.,/■',,( f >>tf.r, .,.:;.!•,,. Mff.'t ..fiii, . ..';(4m — 20(4m — /) .../;j yj|-j,'> nnp .„.,,. . .^,, 



dont le num6rateur mulliplie par le denominateur donne ce produit '^<^f ohJotnoMa e{ Jnob h\ . 



16m* — UmH -f- 58mm// — 28m/' -h «* 

 qui doit ^tre un quarr^, et dont la resolution est fort aisee. 



