Litlerae ad cel. Lagrange datae. 575 



Quoique cetle solution parai«se irhs particuli^re, vA qu'au lieu de quatre lellres p, q, r, «, cette formule 

 n'en contient que deux ; j'ai pourlant lieu de croire qu'elle renferme toutes les solutions possibles. 



Je serais fort curieux, Monsieur, d'apprendre votre sentiment sur les deux theoreraes suivants que je crois 

 vrais sans pouvoir les demontrer. 



I. Outre le cercle il n'y a point de courbe algebrique dont chaque arc soit 6gal h un arc de cercle. 



II. II n'y a pas non plus de courbe algebrique dont cbaque arc soit ^gal d un logarithme. 



Vous voyez bien qu'il ne s'agit pas ici des courbes algebriques dont la reclification depende ou des arcs 

 de cerclc ou des logarithmes. 



Je reviens au probleme, dont je vous ai parle dans ma lettre precedente, ou il s'agit de delerminer les 

 trois quantites x. y. et z par les deux variables / et u ensorte qu'en posant 



dx z=zldi -^ Xdu ; dy = mdt -h- fidu ; dz = ndt -♦- vdu ; ,;,p ^^^ .,[. 



les trois condilions suivantes soient remplies, savoir 



1°. II -+- mm ■+- nn = 1 



2«. kX -i- fifi -t- w = l 



J'en avais bien trouve une solution complete, mais par um methode extr^mement indirecte, et je croyois 

 presque qu'il n'y avait pas de methode direcle qui put conduire h sa solution. Mais, afin que vous ne pensiez 

 pas que c'est la une speculation entierement sterible, j'ai rhonneur de vous dire que le probleme suivant m y 

 a conduit : «Trouver tous les solides dont la surface puisse etre developpee sur un plan», comme cela k lieu 

 pour tous les corps cylindriques et coniques. Dcpuis quelques jours je suis tombe sur la solution suivante, qui 

 me parait assez directe ; 



J'introduis une nouvelle variable a et j'en cherche trois fonclions p, q et r, telles que 



1°. pp -*- qq -i- rr =1, et 



2°. dp* -t- dq^ -t- dr^ = da^ , 



06 qui n'a aucune difficulte ; ensuite je fais 



. >li!lm)xnod ^.l)ff;>< . dp .<i-}fiup o^-ih r-.u^u.'. ->| )ooin^'>}m9><M 9iM* 



»•) 91)110 hJ %Hih i>iiiij iSffiijj» ;ir.>ioa ,««*»lrjiJi9/ iftohned 9si isq ariq «snftup 



'• • . ■ ia •■•' . ' ' f •■.. . 



m = sm 6 -f- -r^ cos o > 



OCJ 



dr 

 n = r sm o -+- — co» (») > 



ao 



■tiuiiib.i ', ; , dp . *'"^i *yl zki-^li a /ujb Jnfifuioi ,mu6 Ji 



A = p cos o -I- — sm o » , 



d(J •.■: ■-■.1 ■: 



dq . . 

 ti =q cos 6) -*- ~ sm u ; 



■lujibnoo zfH,|«>.^y coso-i-— sinis i'^^* iobnnd «dl zusb k rwsb Jneuidino iw 



<>'up iubae) .aotnoid^Rib «uioijibaoo S£ luoi u^ 



II esl clair que les trois condilions prescrites sont remplies ; !1 ne re^te ddnc qu6 de rendre inl«grable$ 

 les trois formules difTerentielles. Pour cet effet, je remarque que > ».. . u, i .... 



