576 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Varia. 



iiioT) 9^ Ofip alneyiiia '* ■ ' dm = 



do cos 



o (p 



ddp\ 

 dZ^) 



rfocoso(gH-^l) 



■!•) J-iUl 



dn = do coso Ir 



ddr\ 

 d^V 



dX =' — do sin o (p ■+- -\ \ 



'•(> H9U}» ^ ^ 



dfi = — do s\n a Iq -¥- — |) 

 dp = — do sino Ir -t~ —A 



dX 

 de sorte que — 



-^ = ~- = — tang o. Maintenant transformons les formules proposees ensorte qiie 



dm 



dn 



X = U -^ Xu — fifdl -H udX) = It -\~ Xu — f{t — u tang o) dl ; 

 y =mt -i- fiu — f^dm -f- wrf/i) = ml-\- fiu — f{), — u tang o) dm; 

 z =. nt -\- vu — f{tdn -i- udv) = nt -\- vu — f{l — u tang w) dn 



puisque /, m et n sont des fonctions de la seule variable C9, toutes ces trois formules deviendront integrables, 

 si Ton egale la formule t — ti tang o k une fonclion quelconque de o, que nous designerons par Jl. De l^ on 

 lire t = fL-\- u tango); de sorte que le calcul roule maintenant sur les deox variables w et ta, dont le» 

 coordonnees x. y. z. deviennent des fonctions. m.i^^^ui^uh. t^U^i^.^m i.k- •«*t - 



Permettez moi, Monsieur, que je vous parle d'un probleme qui me pairait forl cirieux et digne de toute 

 attention. Dans un carr6 divise en seize cases, il s'agit d'inscrire dans ces cases, seize nombres tels. 



*.np mlh: 



Mbc»'iJiii'l 



que premierement les sommes des quarres de chacune des bandes horizontales, ensuite aussi la somme de§ 

 quarr^s pris par les bandes verticales, soient egales entre elles et outre cela aussi la somme des quarres par 

 les diagonales ; ce qui donne dej^ dix condilions k remplir ; mais il faut de plus remplir les conditions 

 suivantes. 



li^ AE -\- SF -i- CG -\- DH = 0, 12«. AI-+- BK-\-CL-\- DM= ; etc. 



et ainsi, joignant deux k deux les bandes horizontales ; ce qui donne six conditions; enfin il faut aussi 

 remplir celles-ci 



17^ AB-^EF-\-JR-\-NO = (S) 18o. AC -¥- EG -^ JL-^ NP = ii etc. 



en combinant deux k deux les bandes verticales, ce qui donne aussi six conditions ; de sorte qu'il faut remplir 

 en tout 22 conditions dififerentes, tandis qu'on n'a que seize quantit^s inconnues. Cependant ce probleme ne 

 laisse pas d'^tre infiniment indetermine et j'ai reussi d'en trouver la solution en general dont j'ajoute jci un 

 exemple particulier. .,j,p e.»|mttii»'i &{ ,Jall'i Jfij juo'1 .HoiiyiiuaioTlib *oliJu:'iJj! 



