Litterae ad ceL Lagrange datae, 579 



Lettre de A. J. Lexell. ' ? 



Monsieur, 



Ayant appui par la lettre que notre illustre M. Euler a re^ue de vous et qu'il a bien voulu me commu- 

 niquer, que vous seriez curieux de voir la demonstration que j'ai donnee de votre tres elegant theordme, qui 

 se trouve dans le tome XXIV® des memoires de Berlin ; et M. Euler m'ayant ordonn^ de vous comnraniquer 

 en mSme temps quelques-unes des demonstrations qu'il a trouvees pour ce theor^me -. je profiterai de cette 

 occasion, pour vous presenter, Monsieur, les hommages que je dois vous offrir, comme k un des plus grands 

 mathematiciens de notre siecle et pour vous temoigner les sentiments d'admiration et de respect que vos 

 sublimes recherches m'ont inspires. 



Avant que de donner les demonstrations dont je viens de parler, je remarquerai que les deux premieres 

 sont de M. Euler et que la troisieme est celle que j'ai trouvee. 



Outre ces deux demonstrations M. Euler en a encore trouve quelques autres, mais cellec (^b vous 

 recever ici m'ont paru les plus remarquables. 



•jnob 



ibnaitdo no ««{liA 



D^moiistration 1. 



Puisque 



tz=(B — P 



on aura 



. dx dx ^t 



^^ ^ ^* i^IQlUOb U9(f 



Q marquant une fonction quelconque de oc. Soient p, 5, r, etc. des fonctions de t et P, Q, R des fonctions 

 semblables de x ; faison 



Q^q-t-A^B-t-C-b-D-t- etc. 



oA A, B C, D sont des fonctions qui outre g, q , q , contierinent des fonctions determinees de / . on aura donc 



dA\ /dB\ /dC\ 



— j -t- etc. 



,i^^ ,1^^ Sdq/ \dqj \ 



car en supposant q' = q -t- A ^-t- B •+• o -+- etc, on a 

 mais en prenant la differentielle complete de Q, on aura 



61 nc uo 



ii»h 



'"-^> - 'D - Q - <"«• 



/dA\ /dB 



d'oiIl Ton tire - 



dx _/ _, dx ^t /dA\ (dB\ /dC\ 



s - <? = ^ « = (^) -<- (^) - (s) -*- >«• 



«upposons maintenant 



i? = r-f-9lH-5B-4-(l-4-3)-*-etc 



tl tftq- (ft flO 



