582 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. 



Dans le tome XV® de nos commentaires , nouvellement imprime, se trouve, parmi d'autres pieces de 

 M. Euler la solution qu'il a donne de ce probleme curieux : trouver deux nombres x ei y tels que 

 xy ± (x-i-y) = □ et xy ± [x — y) = □ il a aussi insere dans le m^me tome une dissertation que j'avais 

 donnee sur les caracteres d'integrabilite, dont le principal objet est de demontrer le beau theor^me de Mr. 

 Euler. Quoique la demonstration que j'en ai donnee, me sembloit fort exacte; lorsque j'etais occupe k ecrire 

 cette piece, jai pourtanl reconnu qu'elle n'est pas tout k fait concluante ; c'est pourquoi je lui en ai substitue 

 une autre, dans un memoire qui sera imprime comme une suite du prec6dent dans le tome XVI. Ayant appris 

 que Mr. de Condorcet a dej^ traite le meme sujet, je dois craindre que mes petites recherches n'en 

 deviennent tout k fait superflues. Je serais fort curieux de savoir, de quelle maniere M. de Condorcet a 

 demontre ce theorerae, s'il a employe les principes du calcul des variations, comme Tavait fait M. Euler, ou 

 s'il a deduit les demonslrations des principes du calcul differentiel. 



Je souhaiterais aussi d'apprendre s'il a considere les caracteres d'int6grabilite pour les formules integrales 

 doubles ou triples telles quejji^dxdy on JJJvdxdy dz. Si vous vouliez bien, Monsieur, me faire la grace de 

 m'en instruire, comme aussi de me faire connaitre votre sentiment sur les petites productions dont je viens 

 de parler, je la regarderai comme un honneur des plus singuliers qui me soient arrives de ma vie. 



Quoique la sante de Mr. Euler se retablisse de jour en jour, il n'a pas encore pu avoir Thonneur de 

 vous ecrire ; il m'a recommande seulement de vous teraoigner qu'il est extr^mement sensible aux sentimens 

 d'amitie et d'affection que vous venez, Monsieur, de lui tepioigner dansvotre derniere lettre. 



Je finis en yous assurant des sentimens de respect et d'attachement, avec lesquels ]'ai Thonneur d'6tre 



Monsienr 



Votre tres humble et tres obeissant serviteur 

 St. Petersbourg, ce 5 mars 1772. A. J. Lexell. 



P. S. . 



Voici encore un probleme analytique, fort curieux, de M. Euler, qu'il a trouve en traitant des corps 

 solides dont les surfaces peuvent 4tre deployes sur des plans : 



«Trouver six quantites /, m, n, A, /w, v telles que les formules 



Idx -\- Xdy , mdx -+- ^dy , ndx •+■ vdy 



«soient integrahles et qu'on ait 



II -+• mm -i- nn = 1 , AA -4- /u/i -!- w = 1 , IX -\- m^ -^ nv = d.* > • •' - 



Jen ai trouv6 cette solution sur une surface spherique, soit decrite (Fig. 84-) une ligne courbe quelconque 

 MO, soit POQ un grand cercle qui touche MO en 0, faisons PO = MO et PO ± QO = 90*^. Soient de plus 

 trois points A, B, C, tellement situes que les arc AB, AC, BC soient ^gaux chacun k 90°; joignons 

 AP, BP, CP ; AQ, BQ, CQ. A present nommant o Tare MO, eoit « une quantit^ variable independante de a, 

 il faudra faire 



X =^o -^ s sino et y = fpa -t- « coso 



^o) et yjo sont des fonctions quelconques de o ; et les quantites X, fi, v seront egales aux cosinus des arcs 

 AP, BP, CP. de m^rae que l, m, n le seront aux cosinus des arcs AQ, BQ, CQ. 



