Lilterae ad cel. Lagrange datae. ' 583 



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St. P^tersbourg, ce 24 7bre (5 8bre) 1773. 

 Monsleur et tres honore confrere, 



Ayant enfin recu la traduction fran^oise de mon alg^bre, j'ai Vhonneur de vous temoigner ma tres parfaite 

 reconnaissance de la peine que vous vous ^les donnee d'y ajouter vos tres profondes recherches sur Tanalyse 

 indeterminee ; et je vous prie de vouloir bien presenter tant ^ M. BernouUi quaux libraires mais tres 

 humbles remercimens. 



J'ai lu avec la plus grande satisfaction les excellens memoires dont vous venez d'enrichir le recueil de 

 Tacademie royale de Berlin. Les belles demonstrations que vous y donner du tbeor^me de M. Waring m'ont 

 cause un tr^s grand plaisir ; j'en ai aussi trouve une demonstration fondee sur des principes tout a fait 

 differens. 



Soit 2p H- 1 le nombre premier dont il s'agit, il est certain qu'il y a toujours une infinite de nombres a, 



tels que les puissances 1, a, «*, a' jusqu'A a^P~^ , etant divisees par 2p — 1, produisent des restes tous 



differens enlre eux, de sorte que a^P soit la premiere puissance apres Tunite qui reproduise le reste 1 ; d'oTi 

 il s'ensuit que la puissance aP donne — 1 pour reste ; puisque tous les restes mentionnes sont inegaux entre 

 eux leur nombre etant 2p, tous les nombres 1, 2, 3, 4 . . . . 2p y seront compris. Soit maintenant M le 

 produit de tous ces nombres 1, 2, 3, 4 . . . 2p, il est clair que ce produit M etant divise par 2p + l laissera 

 le m^me reste que le produit de toutes les puissances ci-dessus ; or ce produit est evidemment aF^^P~^^, que 

 je represente par cet autre a^P^P^^^aP^ dont le premier facteur a^P^P^^^ etant une puissance de a^P laissera 

 runite pour reste ; mais Tadlre facteur aP donnera le reste — 1 ; d'ou il est clair que le reste qui provient 

 de cette puissance entiere sera = — 1 ; de sorte que le produit M doit aussi donner le m^me reste. De I^ 

 il s'ensuit que la formule M -^ i sera divisible par le norabre propose 2p-i~i. 



Or pour ce qui regarde le nombre a; il faut qu'il soit tel, que la formule a*aj — a ne puisse jamais 

 devenir divisible par le nombre premier 2p-*-l ; ainsi, par rapport h chaque nombre premier, tous les nombres 

 se partagent en deux classes, la premiere renferme ceux, que je nommerai b, d'oii la formule scx — b peut 

 devenir divisible par 2p -f- 1 ; Tautre classe comprend les nombres a dont je viens de parler. Pour trouver 

 dans chaque cas ces deux classes de nombres indiquees par les leltres a et b, j'ai trouve par hazard une 

 regle tres facile, qui merite d'autant plus d'attention, que je ne suis pas en etat d'en donner une demonstration 

 rigoureuse. 



Pour cel efl^et, il faut diviser les nombres premiers en deux classes, Tune de la forme 4w — 1, Tautre de 

 la forme 4n -t- 1. Soit donc premiereraent le nombre premier propose de la forme 4n — f, j'en forme une 

 progression contenue dans ce terme general, laquelle sera par consequent. 



^"'^'n, n-f-2, n-+-6, n-»-12, n-f-20, n-i-30, n-t-42, n-+-56, n-+-72, etc. 



et je puis demontrer que tous les termes de cette s^rie sont compris dans la classe des nombres marques par 

 b, de sorte qu'une formule a^x — b puisse devenir divisible par 4n — 1 ; ou bien tous ces nombres sont tels 

 que la formule 6*""^ — 1 soit toujours divisible par 4n — 1 ou un de ses multiples. Mais pour ce que je ne 

 puis pas encore demontrer, c'est que non seulement tous les termes de cette progression, mais encore tous 

 les diviseurs de chacun, appartiennent k la classe des nombres b ; et en etfet on observera toujours, que si d 

 est diviseur de, quelqu'un de ces lerraes, on rencontrera dans la m(ime progression un terme de la forme dkk 

 qui est equivalent <lu nombre d. 



