584 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. 



Soit, par exemple, le nombre premier propose 4n — 1=71; partant n = 18 = 2.3' et la progression sera 

 18, 20, 24, 30, 38, 48, 60, 74, 90, 108, etc. 

 Ton voit d'abord que les nombres de la classe b sont 



2, 3, 5, 19, 37, 87. 



Pour le nombre 2, la chose est claire, puisqu'il se trouve deji dans le premier terme, mulliplie par le 

 carre 9, et le nombre 3 se trouve multiplie par le carre 16 dans le terme 48 ; ensuite le second terme 20 

 renferme le nombre 5 multiplie par le quarre 4. 



Pour les nombres premiers de la forme 4n -+- 1 , je forme d'abord la progression au moyen de cette 

 formule n — x — xx ; cette progression sera 



: ' n, n — 2, n-6, n— 12, n — 20 , n — 30 , n - 42 , n — 56, n — 72, etc. 



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et lorsque ces termes deviennent negatifs, on n'a qu'^ les trailer comme positifs, puisque si b est un tel 

 nombre, non seulement la formule xx — b mais aussi celle xx ~+- b, pourra devenir divisible par 4n -+- 1. Ici 

 la m^me propriele a lieu, non seuleraent tous les termes de cetle progression mais encore tout leurs diviseurs 

 fournissent des nombres de la classe b, et tous les nombres qui ne s'y trouvent pas sont ceux qui conslituent 

 la, clas^e a. Ainsi prenant, par exemple, 4n -t- 1 = 89, ou bien n = 22, la progression sera 



''f ^^^ 5"!' 22, 20, 16, 10, 2,. 8, 20, 34, 50, 68, 88, 110, 134, 160, etc. 



d*ou i on yoit'3'abord que 1a ctasse des ndmbres b contient 



';i'»aaiBf 'V» eb yaumii/q sflu liwJft -, 11, 17, 67, etc. 



Le nombre 2 se trouve lui mdme dans la serie. Pour le nombre 11 en prenant x = 33, le terme de la 

 progression sera 1100 = 11. 10*. Mais il est tres Femarquable que cette belle propriele n'a lieu que lorsque 

 le nombre 4n — 1 ou 4n -h 1 est premier ; car prenant, par exemple, 4n — 1 = 35, ou n = 9, la progression 



sers 

 ..,,,, 9, 11, 15, 21, 29, 39, 51, 65, 81, 99, 119, 141, 165, etc; 



ici quoique 3 divise plusieurs de ces termes, il ne s'en trouvera cependant aucun qui ait la forme 3KR, il en 

 est de m^me des nombres 5, 7 et dautres qui sont muUiplies par 3. Je suis persuade que la consideration 

 de ces circonstances pourra conduire 5 des decouvertes tres importantes. 



Vous aurez vA, Monsieur, dans mon algebre, que le probleme de trouver 4 nombres dont les produits 

 2 k 2, en y ajoutant Tunite, deviennent des nombres quarres, m'a fort embarrasse, je nai m^me pu assigner 

 en general des nombres satisfaisans, quoique je me sois presque souvenu que ce probleme a ete resolu par 

 Ozanam ; mais Toccasion de faire des recherches lA-dessus m'a manque. Depuis, j'ai trouve cette solution 

 assez generale. 



Prenant k volonte deux nombres m et n, tels que mn -f- 1 = U, \es quatres nombres cherches seront 



/. m , /7. n , III. m-+-n-+-2l, JV, ^,{1 -+- m) (/ -f- n) , 



o\!l le nombre / peut 6tre pris negatif ou pOsitif. Peut ^lre cette solution se trouve-t-elle dans Talgebre 

 d'Ozanam. i«rtq «fsM .a^Iqii 'tl filo l - 



Mais je n'aurais jamais cru qufe Tanalyse fut suffisante pour etendre cette question ^ 5 nombres, et je fus 

 tres agreablement surpris ces jours-ci, lorsque je renconlrai les cinq nombres suivans 



A= 1, 5 = 3, C=8, Z)= 120 et E = '^^^ 



