Lillerae ad cei Lagrange datae. 585 



qui fiatisfont aux dix conditions prescrites, de la maniere suivante : 



1. AB -^ \ = 2', II. AC -i- \ = 3^ 111. AD -^ 1 = \\\ IV. B( -+-1 = 5*, 

 V. BD -t~ l = 19*, VI. CD -t- \ = 31*, VII. AE -t- \ = (^^t) ' 



nn. BE-.,^ Q% ;x c. -. . = (^, x i>e Z = (^f. 



et de l^ je suis parvenu k donner une solution assez generale, mais par une methode tres indirecte que je 

 ne saurais expliquer clairement. Car, ayant elabli par les formules donnees les quatre premiers nombres 

 A, B, C, Z), je fais 



A-^B-^C-^D=Tp, AH -i- AC -^ AD -*- BC -^ BD -i- CD = q , 

 ABC -f- ABD -+- ACD -*- BCD = r , ABCD = s , 



el alors le cinquieme nombre sera 



_, 4r-4-2p(*-t-l) 



Voici une propriet^ forl remarquable de ces nombres ; on aura toujours \ -t- q -^- s = - pp. Cette maliere 



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 parait bien digne d'^tre mise dans tout son jour, mais je m'y sens incapable. 



La resolution de la formule axcc -i- \ = yy ma cause autrefois bien de la peine par rapport au nombre 

 a qui demande de Ires grands nombres pour x et t/, comme 61 et 109 ; mais je viens de trouver un tbeoreme 

 qui conduit d'abord i la solution dc ces cas et d'autres semblables. 



Connaissant pour le nombre a, les valeurs de r et de s telles que arr — h- = ss, que lon prenne p = rs 



et q = ss -t- 2, ensuite x = p- [q'^ — ^) et y = ^ q [q"^ — 3) et Ton aura certainement axx -t- \ = yy ; ou 



il faut remarquer, que puisque r est par sa nature un nombre impair, les deux expressions de x et y donne- 

 ront des nombres entiers. Ainsi pour le cas de a = 61 on aura d'abord r = 5, s = 39, et de l^ on tire les 

 grauds nombres x et y rapporles dans ma table. M. Lexell el moi venons de remeltre k M, le cbevalier Triquet 

 quelques memoires pour les actes de racademie rojale de Tnrin ; il m'a assure avanl son depart que vous y 

 serez incessamment rappelle et que le roi regiiant veut remettre son Academie dans son premier elat florissant 

 Dans ce cas Tacademie de Berlin serait bien k plaindre. 



Vous voyez, Monsieur, que je vous ai decouvert mon coeur tout enlier ; et je vous prie de me continuer 

 Thonneur de votre amitie, en vous assurant que je serai toujours avec le plus inviolabie attachement, 



Monsieur, 



votre tres humble et tres obeissant servileur 



Leonard Euler. 



17. 



Domino celeberrimo de la Grange, 



S. P. D. 



Leonardus Euler. 



Sequcns theorema attentione Geometrarum haud indignum, et Analjsin prorsus singularem postulare \idetur 



Theorenia denioiisitrandum. 



Si formula diiTerentialis ^^ — -. — -■ — ita integretur, ut facto j: = integrale evanescat. tum vero statuaiiir 



log X 



X = 1, ejus valor aequalis est logaritbmo binarii, ubi quidem logaritbmi hyperbolici sunt intelli{>endi. 

 (Ke^u le 26 janvier 1775 ; repondu le 10 fevrier.) 



L. Euleri Op. posihuma. T. I. T !^ 



