586 EULERI OPERA POSTHUMA. varia. 



A St. Petersbourg, ce 23 mars 1775. 



Monsieur et ires houore confrere, 



II est bien glorieux pour moi davoir pour successeur k Berlin le plus sublime georoetre de ce siecle, el 

 il est certain que je naurais pu rendre k lacademie un plus grand service qu'en prenant mon conge; et i cet 

 egard je puis me vanter d'avoir une grande superiorite sur vons, vu que vous ne lui sauriez jamais rendre 

 un tel service. 



Jai parcouru avec la plus grande avidite les excellens memoires dont vous avez enrichi les derniers 

 volumes de Berlin et de Turin ; je n'ai pu assez admirer Tadresse et la facilile avec laquelle vous y traitez 

 tant dobjets epineux qui m'onl coute bien de la peine. Tel est le mouvement d'un corps attire vers deux 

 points flxes ; et surtout lintegration de cette equation differentielle 



mlx ndy 



V {A-*- Bx-t- Cxx -+- Dx^ -+- Ex'^) V {A -+- By -*- Cyy -*- Dy^ -i- Ey*)' 



toutes les fois, que les deux nombres m e\. n sont rationnels. 



Cette recherche renferme encore une autre branche, lorsqu'on y ajoute des numerateurs semblables, ou il 

 sagit de trouver un rapport entre les variables or, &\ y tel, que la somme ou la diflerence de deux formules 

 pareilles devienne algebrique. 



J'en ai tir6 autrefois la solulion de cette question : Le quart d'une ellipse ABC (Fig. 85) etanl donne, y 

 trouver deux points P ai Q tels, que Tarc PQ soit precisemenl la moitie de Varc AR. Cette maliere me parait 

 avoir beaucoup encore m recessu. 



Ce que vous me marquez, Monsieur, k Toccasion du petit theoreme I — = log2 en prenant 



j- = 1, ni'a beaucoup rejoui, et j'ai vu avec la plus grande satisfaclion, que vous avez d'abord penetre tout 

 le mystere, et que vous avez pousse toutes ces recherches beaucoup plus loin que je ne Tavais fait dans 

 quelques memoires composes sur ce sujet. J'ai ete frappe surtout de cet excellent theoreme 



Hx" — x'")dx 



en prenant lintegrale depuis x = jusqu'^ j = oo ; de la verite du quel je me suis dabord convaincu par 



/■■ x'*dx 

 '-. ?— ; depuis a? = iusqu'^ a? = oc, 

 (1 -H x'^) log a; ^ j -1 



est toujours egale a log. tang — , apres avoir trouve que j-- --j depuis .2 = jusqu^ ^ = c» est 



/* x^^ — dx 

 toujours egale a 0. Comme vous aurez tire saiis doute, ce beau Iheoreme de celui-ci que / ? depuis 



if = 0, jusqu'^ X =. <x> est egal a je suis curieux dapprendre oii s'en trouve la demonstration ; car 



r sin — 



r 



quoi quil me soit connu depuis plus de quarante ans, je n'en ai pu neanmoins trouver une demonstration 

 formelle que depuis peu de temps, et je ne Tai pas encore publiee j'attends avec beaucoup d'impatience, de voir 

 les profondes recherches qiie vous aurez commnniquees sur ce sujet i Tacademie royale de Berlin. 



Le paradoxe dont vous me parlez, merite sans doute toute rattention des geometres il consiste en ce 



que la difTerence enlre ces deux formules integrales /-— et /— — , comprises entre les m^mes limites et 1 



" J\ogy Jlogz 



