Litterae ad cel. Lagrange datae. 587 



soit egale a log r » le d^noucmenl de ce paradoxe se trouve sans doule, en ce que Tune et Tautre integrale 



devient inBniment grande, oii leur ^galit^ n'empdche pas que ieur diff^rence soil indeterminee ; comme cela 

 arrive dans ces formules plus simples j ^ ^^ j " P^i^^^ depuis jiisqn'^ rinfini, ou la diflerence peut devenir 



egale k une quanlito quelconque ; aussi en prenant y = az on aura sans doute / / — = log a. 



Je suis tombe ces jours ci sur un probleme de mecanique, qui m'a beaucoup tourmente, quoiquii paraisse 

 fort simpie au premier coup d'oeil. 11 s'agit de trouver le mouvement avec lequei une barre descend en giissant 

 sur un axe cylindrique, comme (Fig. 85) le represenle. L'analyse m'a d'abord conduit h deux equations diffe- 

 rentio-differentielles, assez semblables a ceiies qui expriment le mouvement dun corps attire vers deux points 

 6xes ; mais jusqu'ici je n'en ai pu tirer qu'une seule equation integrale, en negligeant m6me le frottement : et 

 si l'on en voulait tenir compte, je ne vois d'aulre ressource que de suivre le mouvement de la barre quasi 

 pas i pas ; et c'est sur ce pied que j'ai developpe un cas determine. 



En parcourant le dernier volume des memoires de Berlin, je ne fus pas peu surpris, qu'il puisse encore 

 ^tre question dun satellite de Venus, et meme dun tel, qui renverserait tous les principes de Tastronomie; 

 je n^aurais pas cril non plus que le principe de la raison sufGsante os4t encore paraitre sur le theStre.' 



Je suis entierement convaincu, qu'^ moins que vous reussissiez k retrouver les demonstrations perdues de 

 Fermat, elles resteront perdues k jamais. Tous mes soins k cet egard ont ete inutiles jusqu'ici, sans en 

 exclure ceux que jai pris pour prouver, que cette egalite a;" ± y" = ^' est toujours impossibie, A moins que 

 iexposanl n ne suil au-dessous de 2. Nous avions cru aulrefois que cette impossibilite s'etendait pius ioin k 

 ces formules : 



a^ ± b^ = z^ ; 



m 



a zt: -+- C = Z ; 



a* dr 6' ± c* zt rf* = z* ; 

 etc. 



Mais ii n'y a pas long-temps qne j'ai ete convaincu que la seconde n'est pas impossibie ; car j'ai trouve 

 quatre nombres a, 6, c, d, tels, que a* -i- 6* = c* -h d*. 



Vous recevrez en peu de temps le XViIIe™« volume de nos commentaires ; la premiere partie du tome 

 XlXeme g^^ jgj^ imprimce. J'y ai donne une idee pour etendre la table des nombres premiers jusqu'au deli 

 dun million, et j'ai m4me donne tous ies nombres premiers entre 1000000 et 1002000; un lel ouvrage deman- 

 derait un volume in 4-°, de la mdme epaisseur que nos commentaires. 



Je 6nis, Monsieur, ayant i'honneur d'dtre avec les sentiments du pius parfait devouement, 



Monsieur et tres-honore confrere, 



Votre tres humble et tres obeissant serviteur 

 L. Euler. 

 P. S. 



Permeltez-moi, Monsieur, d'ajouter encore deux theoremes qni me paraissent vrais, quoique je n'en ai pu 

 trouver encore la demonstration 



