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wachsenden KintluH verleilit. Die Formel für das <^)Ucidrat des mittleren 



U'-l 

 Fehlers m ist )ii- = -- — '— : somit ist m = + 



y 



r 



n — 1 ~f n — 1 



Die (leiiauiiikeit des Mittelwertes 7> beurteilt mau nach der Größe 

 seines p:leiehzeitig anzugebenden mittleren Fehlers .1// . dessen Quadrat 

 man aus dem mittleren Fehlci' der Finzelbeobachtnniien durch die Di- 



Vision durch die Anzahl der Beobachtungen erhält: M,-= — , somit 



n 



m 



1" 

 Ist eine .Messungsreihe mehrmals ausgeführt worden, von demselben 



oder von verschiedenen Beobachtern, und liegt von jeder Reihe ein Mittel 



(L'i, L'o, L'g . . . . L's) vor, so wird man als Endresultat einen aus der 



Vereinigung der 'einzelnen Mittel hervorgegangenen Wert angeben; dieser 



\L'\ 

 kann aber nicht einfach das arithmetische Mittel - — - sein: man muli 



s 



vielmehr berücksichtigen, daß Beihen. die ans einer größeren Anzahl von 

 Finzelbeol)achtungen bestehen, dem wahren Werte näher kommen als 

 kürzere: das ..Gewicht" einer Reihe ist proportional der Anzahl von 

 Kinzelbeobachtungen . aus denen sie besteht: man wird also, um das Ge- 

 wicht zu l)erücksichtigen, jedes Mittel mit der Anzahl ;/i. n., n^ . . . . »s 

 der Beobachtungen, aus denen es zusammengesetzt worden ist, mnltii)li- 

 zieren und dui-ch die Gesamtzahl aller Fieobachtungen (Summe aller ni 

 dividieren. Der eudgiltige Mittelwert L wird dann durch die Formel aus- 



gedruckt: L^=-, — r-. 

 [n\ 



Die bisher besprochenen Methoden, die sich mit iler Ausgleichung 

 direkter Beobachtungen beschäftigen, finden auch Anwendung, wo es 

 sich nicht um wiederholte Messungen derselben Größe, ' sondern um 

 zahlenmäßige Feststellungen an demselben Merkmale verschiedener 

 gleichartiger Individuen handelt, worüber später in der Kollektivmaßlehre 

 berichtet werden soll. Hier mag noch erwähnt werden, daß man auf die- 

 selbe Weise bei der Zählung von in einem flüssigen Medium suspendierten 

 mikroskopischen Objekten (.Mikroorganismen, isolierten (Jewebszellen) mittel.^t 

 einer Zählkammer vorgehen kann, falls eine höhere Genauigkeit als bei 



') Man würde im Nenner n erwarten : dann wäre die Formel aber nur zutreffend, 



wenn der wiiliro Wert bekannt und die Fobloi' dir Abwoiebungen r.,- der einzelnen 



'> 



Beobachtungswerte v(ini wabrcn Werte wären; dann wäre nr ^ — ü". Berechnet man 



n 



aber die Fehler als Abweichungen der Einzelbeobachtungen vom Mittelwert, welcher 

 selbst wieder gegenüber dem unbekannten wahren Werte eine gewisse Abweichung auf- 

 weist, dann ist, wie man leiclit ableiten kann (siehe z. B. Weitbrecht, S. 24 — 27), die 

 Quadratsumme kleiner, [r'-] <^ [^'tr'] i "»d öi^" ™iiß a\\q\\ den Nenner verkleinern ; die 

 Verminderung gerade um die Einheit hat sich als allen Anforderungen entsprechend 

 erwiesen. (Ableitung siehe z. B. 1. c. ferner daselbst S. 3(j.) 



