Mathematische Methoden in den biologischen Wissenschaften. (540 



Sn und Pn eintuhron, so wäre die Aufgabe, du N (ileichungeii für bloü 

 3 UDbekannte vorhanden sind, überbestimmt; aus je H beliebigen speziellen 

 Gleichungen des Systems könnte man a, b und c berechnen die Be- 



obachtungswerte spielen hierbei die Rolle von Koeffizienten dci- die liibe- 

 kannten darstellenden Konstanten — , die Ergebnisse würden aber von- 

 einander um mehr oder weniger große Beträge differieren. Diese Wider- 

 sprüche zu beseitigen ermöglicht die Ausgleichungsrechuuiig. welche auf die 

 von Gauß ausgearbeitete Methode der kleinsten <.^)uadrate zurückgeht.') 

 Hiebei werden alle Beobachtungswerte in gleicher Weise zur P)ereclinuLg 

 verwendet. Multipliziert man die für das Gesetz angenommene (ileichung 

 der Reihe nach mit den Koeffizienten der /. (im vorliegend(Mi Falle o) Kon- 

 stanten (also mit l^', P und P'), und setzt in jede der -/.Gleichungen nach- 

 einander alle N Beobachtungswerte ein, so erhält man /. Gleichungssysteme; 

 durch Addition der speziellen Einzelgleichungen (..Bedingungsgleichungen") 

 jedes Systems ergeben sich so viele aus allen Beobachtungswerten berechnete 

 und voneinander unabhängige Gleichungen („Normalgleichungen"), als Un- 

 bekannte (Konstante, x.) vorhanden waren. Auf die.se Weise erhält man aus 

 (jleichung 3) durch Einsetzung der Beobachtungswerte die Bedingungs- 

 gleichungen : 



Si = a + bP, + cPj^) 



52 = a + bPa + cP.22 



53 = a + h\\ + CP3- 



Sn =a + bP„ + cPn2 



Ü 



er. 



o 



-l-H 



3 



und [S]=Na+b[PJ + c[P-] 4) 



als erste Xormalgleichung: ferner erhält man aus Gleichung H) durch Multi- 

 plikation mit P, bzw. mit P^ zunächst 



SP = aP + bP2 -h cP» 

 und SP2 = aP2 + bP^ -\- cP^ und durch Addition iler 



entsprechenden Bedingungsgleichuugen die 2. und 3. Normalgleichung: 



[SP] = a[PJ-f b|P2j + c|Ps| 5) 



[SP2] = a[P2] + bfPM + c|PM 6). 



Durch die Gleichungen 4), 5) und 6) sind die r. Konstanten eindeutig be- 

 stimmt. Ftihrt man die angezeigten Summenausdrücke aus (Tabelle \ ) und 

 setzt ihre speziellen Werte in die 3 Gleichungen ein. so erhält man die 

 speziellen Normalgleichungen : 



1) Näheres s. die auf S. 578 angegebene Literatur ; vgl. ftMiier .Vnm. ") auf S. :w7. 

 -) Koeffizient von a ist P''=l. 



