Mathematische Methoden in den liiologischen Wissenschaften. {]{\;^ 



zuführen, daß man aus ihnen die der gewünschten Gesetzmäßigkeit entsprechenden aus- 

 wählen kanu.i) Wir wollen hier den Fall hetrachten. daß die unabhängige Varialilc 

 nach einer arithmetischen Reihe steigt, und die entsprechenden Werte der abhängigen 

 sich als geometrische Reihe erweisen. ^j Ist das 1. Glied der beiden Reihen x und y, 

 dann wären, wenn die Differenz der arithmetischen Reihe mit a. der Quotient der 

 geometrischen mit q bezeichnet wird, die folgenden Glieder: 



n. X + (n — l)a yq"— ' 

 (n + 1). X + na yq" 



Die letzte Zeile der Tabelle enthält das (n + l)te Glied, also 

 Xn + 1 = X + na 

 Yn + 1 " yq" : für n folgt aus der ersten Gleichung 



Xn + 1 — X 

 n = und aus der zweiten 



log 



a 

 yn + 1 



y 



^ ^^ — loo- n — ■ ^"^ ^'"''^ erste Glied x und y konstante Größen sind 



— ■ sie seien mit ? und rj bezeichnet — , das (n + l)te aber als Vertreter jedes beliebi- 

 gen Gliedes einfach durch x und y gegeben werden kann, gehen die beiden Formeln 



X — ^ log V — log T. 



in u = und n = ', über, aus deren Vereinisung (x — f)logq^ 



a log q > b ' •.' 6H 



a (log y — log r,) hervorgeht. Durch Umformung und Zusamraenziehung der konstanten 

 Ausdrücke erhält man: 



x — ; = r-^— (log y — log) 

 log q 



logq 



= A 



X — ? = Alogy — Alog 



? - A log r, = B 

 X = Alogy -+- B (Logarithmische Kurve). 

 Eine weitere Umformung ist folgendermaßen möglich : 



B = log b 

 A = a ») 

 X = a log y + log b 

 10^ =h ya ^) 



') Es gelingt nicht immer, den Versuch unter solchen Bedingungen auszu- 

 füliren, daß gerade die Werte der Unabhänirigen, die man zur Herstellung der ge- 

 wünschten Reihe braucht, herrschen. Dann wird man durch Interpolation die fehlenden 

 Glieder der Reihe ergänzen. Zum vorläufigen Überblick genügen annähernde Werte, die 

 man oft aus der Kurve der Beobachtungs werte ablesen kann. 



-) Der noch einfachere Fall zweier arithmetischer Reihen bedarf keiner wei- 

 teren Erläuterung, da er die Proportionalität bedeutet, in graphischer Darstellung die Gerade. 



^) Diese Substitution wird nur aus äußeren Gründen vorgenommen, um das For- 

 melbild gleichmäßiger zu gestalten. 



^) Ist y die Abhängige, dann sind die Konstauten in anderer Weise zusammen- 

 zuziehen. Behält man den Ableitungsweg bis Gleichung x = A log y -|- B bei. so würde 

 man dann schreiben: 



