256 



Egon Eich wähl und Anilor Fodor. 



Im letzteren Falle dagegen bezeichnen wir die Funktion als implizite: 



r(x, y) = 0. 



Selbstverständlich ist diese Einteilung rein formell und nicht im ge- 

 ringsten wesentlich. Wir wollen in unseren Darstellungen der Bequemlich- 

 keit zu Liebe vorläufig explicite <Tleichungen in Betracht ziehen. 



:j--f(^) 



xz 



sc 3 



Der Differenzen- und der Differentialquotient einer Funktion. 



Es sei eine Funktion f(x) gegeben. Wir tragen die bestimmten 

 x-W'erten entsprechenden y -Werte in ein rechtwinkliges Koordinatensystem 

 ein und erhalten eine Kurve, wie sie beispielsweise in Fig. 87 abgebildet ist. 

 Es fällt uns auf den ersten Blick auf, daß diese Kurve stetig ver- 

 läuft, wenigstens innerhalb des gegebenen Intervalles auf der x-Achse, daß 



aber die Art des Verlaufes 

 Fig. 87. eine ganz verschiedene ist, je 



nachdem ob wir die Kurve 

 im Punkte A, B oder aber C 

 betrachten. Wir sehen, daß 

 im Punkte A die y-Werte bei 

 Steigerung der x-Werte sehr 

 langsam, kaum merkbar, zu- 

 nehmen. Im Punkte B da- 

 gegen liegen die Verhältnisse 

 anders. Hier verläuft unsere 

 Kurve außerordentlich steil, 

 da einer geringen Zunahme der x-Werte große Anstiege der zusammen- 

 gehörigen y- Werte entsprechen. Im Punkte C treffen wir wiederum ein 

 anderes Bild an. Wir sehen hier ein Maximum der Kurve auftreten, d. h. 

 einen Übergang aus dem ansteigenden in den abfallenden Zustand. 



Unsere Aufgabe ist es nun, nach bequemen, rein rechnerischen Me- 

 thoden auszugehen, die uns in den Stand setzen, ohne Hilfe von Tabellen 

 oder Kurven Zeichnungen beurteilen zu können, wie die Funktion sich bei 

 gegebenen x-Werten ändert, d. h. ob diese Änderung eine rasche, eine 

 langsame ist, ob dieselbe in einem Anstieg oder einem Herabsinken be- 

 steht, ob an den betreffenden Stellen Wendepunkte, Maxim a oder Minima 

 auftreten usw. 



Auch die umgekehrte Aufgabe kann uns gegeben sein, z. B. von 

 allen x -Werten, die den uns gegebenen y- Werten entsprechen, jene Stelle 

 rechnerisch zu ermitteln, an welcher die Funktion, d. h. die uns bekannten 

 y- Werte, ein Maximum besitzen. Es sei beispielsweise die Konzentration der 

 Ionen [I], in die sich eine chemische Verbindung spalten kann, als Funk- 

 tion der in der gleichen Lösung vorhandenen H-Ionenkonzentration [H*] 

 ausgedrückt 



[I] = f([H-]). 



