258 Egon Eichwald und Audor Fodor. 



OA =x 

 OB =Xj 

 AB ==Ax 



AP =:y 

 BP, =y, 

 QPi = Ay 

 PPi = Sehne 



Xi — x = Ax 2) 



Vom zugehörigen y gelangen wir zu y,, so daß 



y,~y = Ay 



sein wird. Dann aber wird nach 1) und 2) 



Ay=:(x + Ax)2— x2 oder 



Ay = 2xAx + (Ax)2 ; . 3) 



Mit anderen "Worten: dadurch, daß ich zu x Ax hinzufügte, hat sich y um 

 2xAx + (Ax)2 geändert, d. h. vergrößert. Dies ist die totale Änderung 

 unserer Funktion y = x'-. 



Diese totale Änderung sagt mir aber noch zu wenig über das 

 Kurven])ild aus. Erst dann vermag ich mir über den Grad der Änderung, 

 Steigen oder Sinken, Klarheit zu verschaffen, wenn ich erfahre, welchem 

 Zuw^achs auf der x-Achse diese oder jene totale Änderung entspricht. Es 

 ist leicht einzusehen: entspricht einem kleinen Zuwachs von x eine große 

 totale Änderung der Funktion y, so wird die Kurve an jeuer Stelle steil, 

 im entgegengesetzten Falle aber weniger steil verlaufen. Ist die totale 

 Änderung = , so muß die Kurve an der betreffenden Stelle mit der 



X-Achse parallel sein usw. Es kommt daher lediglich auf das — r^- an, um 



die Art des Verlaufes beurteilen zu können. 



^y _ .yi— y 



Ax Xj — X ' 



Die rechte Seite der Gleichung ist aber, nichts anderes als der nun 

 schon bekannte Differenzenquotient (S. 256). In unserem speziellen 

 Falle ist 



yi— y _ ^y 



Xj — ^x Ax 



2 X + Ax. 



Eine kurze Überlegung muß uns zur Einsicht führen, daß dieser 

 Differenzenquotient gleichzeitig die mittlere Änderung der Kurve (d. h. 

 der Funktion) im Intervalle PjP bedeutet. Ferner erkennen wir, daß 



■^ ^ = -t:^=2x + Ax — tga, 



Xi — X Ax * 



d. h., daß die mittlere Änderung gleichzeitig der Ausdruck für die Tan- 

 gente jenes Winkels ist, w^elchen die Sehne P^P mit der x-Achse bildet. 



Ay 



Diese mittlere Änderung -^7- wird über den wirklichen Verlauf der Kurve 



um so weniger aussagen, je größer das Kurvenstück PP, ist. 



Wenn ich erfahre, daß der Schnellzug Berlin — Halle eine mittlere 

 Geschwindigkeit (Geschw. = Ä-m/Zeit) von SO km in der Stunde besitzt, so 

 erhalte ich über den wirklichen genauen Verlauf der Fahrt nur ein ganz 



