262 Egon Eichwald und Audor Fodor. 



Zu P gehören die Koordinaten x und y, zu P^ gehören x^ und y^: 



y = f(x) und }\ = i{x,). 



Um von X zu x^ zu gelangen, gehen wir auf der x-Achse um das 

 kleine Stückchen Ax von links nach rechts vor. Gleichzeitig verändert sich 

 y um das zu Ax gehörige Stückchen Ay und zwar bedeutet die Änderung 

 um Ay in Fig. 92 ein Ansteigen (daher ist Ay positiv), in Fig. 91 hingegen 

 ein Herabsinken (Ay = negativ). Wir haben wieder: 



Xi — x = Ax und 



yi— y = ^y. 



Die totale Änderung der Funktion y = f(x) ist; 



Ay = f(xi) — f(x) und da 

 Xj = Ax + X, wird 



Ay=:f(Ax + xj— f(x). 



Die mittlere Änderung der Funktion: 



Ay _ f(Ax + x) — f(x) 

 Ax ~ Ax 



Jetzt lassen wir Ax immer kleiner und kleiner werden, kleiner als 

 jede angebbare Zahl, d.h. oo klein: wir kommen zum Differential quo- 

 tienten: 



dy ,. Av ,. f(Ax + x) — f(x) 

 — H- = lim -V— = lim — ^ ^-^ 



dy 



dx Ax = 0^^ Ax = ^^ 



dx=^'('^)- 



Diese letzte Gleichung ist der Ausdruck dafür, daß der Differential- 

 quotient eine neue — abgeleitete — Funktion von x ist. 



Unter der Ableitung oder dem Differentialquotienten einer 

 Funktion y=rf(x) ist somit die Grenze zu verstehen, der sich die 

 mittlere Änderung 



f(Ax + x)-f(xj 

 Ax 



nähert, wenn Ax sich der Grenze Null nähert, d. h. unendlich 

 klein wird. 



Wenn wir die Funktion y = f (x) durch eine Kurve veranschaulichen 

 und eine beliebige, aber bestimmte Stelle P herausgreifen, so bestimmt 

 f'(x) den Richtungskoeffizienten der Tangente in diesem Punkte. 



Wie bestimmen wir nun an Hand der Differentialquotienten die 

 Richtung der Kurve im Punkte P? 



Während eine Gerade überall die gleiche Richtung hat, besitzt eine 

 Kurve in jedem Punkte eine andere Richtung: die Richtung der Tangente. 

 Der Richtungskoeffizient einer Kurve in einem bestimmten Punkte ist somit 



