Mathematische Behandlung biologischer I'roiilc-me. 2i}<> 



schwach ist. Je stärker die Änderung ist, um so größer ist der numerische 

 Wert der Ableitung. 



Unsere nächste» .Vufg.ihe besteht darin, einen TberbUrk über di«* 

 wichtigsten Funktionen und ihre KigenschafffU zu gewinnen und für jede 

 derselben den Differentiahiuotienten, die Ableitung, zu bilden. 



11. KAPITEL. 



Systematische Übersicht über die Funktionen mit 



einer Veränderlichen. 



1. Die algebraische Funktion. 



Die ganze rationale Funktion 1. (Irades. Die allgemeine Form 

 einer solchen Funktion ist der uns bereits von S. 252 bekannte Ausdruck 



y = ax + b. 

 In ihm wurde y aus x durch rationale Operationen (Tirundoperationen) 

 gebildet. Die geometrische Veranschaulichung ergibt eine Gerade (Fig. H3), 

 daher ist die Funktion linear. Gleichzeitig bemerken wir, daß zu jedem 

 Wert von x ein und nur ein Wert von y gehört: die Funktion ist 

 somit eindeutig. 



y = ax + b vermag jeden Wert einmal anzunehmen, insbesondere auch 

 den Wert Null. Möge y den Wert an der Stelle x, annehmen. Dann ist 



ax, +b = und x, = — -. 



a 



Eine lineare Funktion besitzt eine und nur eine solche 0-Stelle oder 



Wurzel. Denn wäre noch eine zweite 0-Stelle x., vorhanden, dann müi»te 



axj + b = und 

 ax.^ + b = 0, folglich 

 a(x., — Xi) = sein. 

 Das letztere ist nur dann möglich, wenn ein Faktor des Produktes 

 a(x.2 — Xi) gleich Null ist und daher müljte a = Ü sein und da ax + b = U 

 ist, müßte auch b gleich U sein, so dali also die Funktion identisch ver- 

 schwindet. 



Eine lineare Funktion (Funktion ersten Grades) kann daher nur eine 

 einzige 0- Stelle oder Wurzel besitzen und diese ist 



X, rr — b/a. Daher ist b = — ax,. folglich 

 y=:a(x— X,). 

 Die Differenz (x — x,) nennen wir den Linearfaktor der Funktion 

 und sehen, dali die Funktion gleich ist dem Produkte des höchsten 

 KoeffizientenM (a) mit dem Linearfaktor. 



') Unter dem .,h(ichst('n KdeffizitMiteii" vorstehen wir den Koeffiziiuten jeii<"! x. 

 welches die höchste l'otenz hesitzt. 



