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Die ganze nitioiiale Funktion n-trn (Jnidcs aber 



y^a^x" 4- a,x"-» + a,x"-= + + a„_v!X- + a„_,x + a... 



Fragen wir nach den Eii^i-nschaften einer solchen Funktion, die uns 



"e?"^ 



ja schon zum Teil von der linearen und (|Uadrafischen Funktion her be- 

 kannt sind. 



Zunächst ist darauf hinzuweisen , dali y aus \ ijobildct wird durch 

 die ersten drei Spezies: Addition. Subtraktion und .Multiplikation, d. h. mit .\ 

 wurden nur diese 3 Operationen unternommen. Der Ausdruck 



y = V*x^ + V.x+ l'^fT 

 ist somit auch noch eine ganze rationale Funktion (zweiten Grades), wogegen 



\ z= — oder V = r X 

 X ' ' 



nicht mehr zu dieser Klasse gerechnet werden darf. 



Jede ganze rationale Funktion von x ist eindeutig und hat 

 so viel Wurzeln, als ihr Grad angibt: die Funktion n-ten <irades 



f (x) = y = aoX" + ai x"-' + a., x"-^-i- + a^-, x + a^ 



besitzt somit n -Wurzeln. Ist x, eine Wurzel, so ist 



f(x,j = yi=a,x," -i-a,xi" -' + + a„_,x, -ha„=0. 



Es wäre leicht zu beweisen, dal», wenn eine ganze rationale Funktion 

 mehr Wurzeln hätte, als ihr Grad angibt, ihre Koeffizienten einzeln = 

 sein müljten. Den Beweis für die lineare Funktion haben wir übrigens 

 oben erbracht. 



Wenn Xj eine Wurzel einer ganzen rationalen Funktion fix) ist, so 

 ist diese Funktion durch (x — x, ), den Linearlaktor is. obem. teilbar. D. h. 



/^^\ =i,(\), oder f(x) = (x -x,)f,(x). 



(x— x,) 



Umgekehrt: wenn eine ganze Funktion durch den Linearlaktor (x — x^j 

 teilbar ist. so ist x, eine Wurzel iler Funkti(»n. Denn: 



f (x) = aoX" -f a, X" -' ... + + a„_,x -f a„ 



f(x,)r=a„x,"-ka,x,°-' ... -t- +an-ix, +a„=0. 



Durch Subtraktion des unteren Ausdrucks vom obi-reii erhalten wir 



f(x) = a„(x° — x/)+ a, (x"-' --x,"-'i-l- -f a«-! (X — x,) 1 



Die Klammerausdrücke 



X' x/ 



lassen sich aber durch (x x, i dividieren: 



x'— Xir = ('x x,)Cx'-' + x----. X, -f \'-3 . x,= + J- \ . x,'-ä -f x/-'V 



