268 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Führen wir diese Division mit jeder einzelnen Differenx x'^ — x^'' unserer 

 Gleichung 1) aus, so gelangen wir zu fi (xj, einer Funktion (n — l)-ten 

 Grades, so daß der Satz 



f(x) = (x-xOfi(x) 

 bewiesen ist. 



Allein, da fi (x) wiederum eine ganze rationale Funktion ist, so 

 wird sie mindestens eine Wurzel Xg besitzen und es läßt sich abermals 

 analog zeigen, daß dann 



fj (x) = (x — Xo) . fo (x), ferner ebenso, daß 

 f2(x) = (x— X3).f3(x), daß 



f („_2) (X) = (X — Xn_i) f (n_i) (x) 



f(n_i)(x) = (x — Xn)fn, WO abcr i^ = a.o, d.h. bereits eine 

 Funktion 0-ten Grades ist. 



Wir gelangen somit zum Ausdruck: 



f(x)=:ao(x— Xi)(x— X2)(X— Xg) (X— Xn-i)(x— x„). ... 2) 



D. h.: die Funktion f(x) = dem Produkte des höchsten Koeffi- 

 zienten ao mit n Linearfaktoren, entsprechend der Zahl der 

 vorhandenen Wurzeln, nämlich n. 



Mit dieser Gleichung aber ist die Funktion f (x) noch nicht bestimmt, 

 da unendlich viele Funktionen n-ten Grades mit so vielen 0-Stellen (Wurzeln) 

 existieren. Erst wenn ich a,, bestimme, wird f(x) eine bestimmte Funk- 

 tion sein, von welcher es nur einzige gibt. Zu diesem Zwecke genügt 

 es, wenn ich einem x einen bestimmten Wert erteile und z.B. sage: 

 x=:Xo und daher f('xo) = yo. 



Nunmehr ist f(x) bestimmt, denn: 



f(Xo) = Vo^ao (xo— Xi) (Xo— Xg) (xo— Xn-i) (xo— Xn); 



folglich ao = jo . -7 77 r 7 r/ r- 



(Xo— xO(Xo— Xo) (Xo— Xn_i)(Xo— X„) 



Wir sehen, daß nur eine solche Zahl ag existiert, da sowohl im 

 Zähler des Bruches als auch in dessen Nenner ausschließlich feste kon- 

 stante Werte vorkommen. Aus 2) folgt: 



f(x) = V ^X — XQ (X— X,) (X — Xn-l) (x — Xn) 



"° " (Xo— X,j(Xo— Xj) (Xo— X„_i)(Xo— Xn) ^ 



Die n Wurzeln x^, x,, X3 Xn-i, Xn stellen somit n Bedingungen und 



x=:Xo (d.h. y = yo) die (n+ l)-te Bedingung vor. Erst diese n + 1 Bedin- 

 gungen bestimmen eine ganze rationale Funktion n-ten Grades. 



