Mathcmatisclie behaiicllung binlogisclior l'robleiiR 



L'r.9 



Die Interpolatiousformel von LiKjrangt. 



Es sei folgende Funktion angenommen, die ans rein zwcckiniUiipen 

 und äulierlichen Gründen n- 1-ten Grades ist; 



Vb— 1- 



y =: f (X) = aoX"-i + aiX"- 2 + a,x°-=» + + a. 



Zur eindeutigen Bestimmung einer solchen Funktion dürfen wir 

 n Bedingungen stellen (d. h. eine mehr, als der Grad angihti. Wir wollen 

 diese n Bedingungen in folgender Tabelle festlegen : 



für X 



X, 



nehme v den Wert an 



yi = aoX,°-> + a,x,°— • + 



Vj 



anX 



0^2 



n— 1 



+ a,X: 



n— a 



+ 





Jn — äoXn + ä^Xn" ' -|- + an_i 



bekannte Größen, unbe- 

 Da jedoch ii (ileichungen 



FiK. 97. 



In diesen Gleichungen sind Xj, x,, x 



kannt gind nur die Koeffizienten ao, aj, an_i 



mit n Unbekannten, die alle nur in 

 der ersten Potenz vorkommen, vor- 

 liegen , so haben wir ein lineares 

 Gleichungssystem mit n l'nbe- 

 kannten, die wir uns algebraisch 

 berechnen müßten. Geometrisch 

 können wir die Funktion als eine 

 Kurve, z. B. eine Parabel n — 1-ster 

 Ordnung, vorstellen , die durch n 

 Punkte bestimmt ist: 



In der Mehrzahl der Fälle, insbesondere wenn n sehr groß ist, ist die 

 praktische Ermittlung von diesen n Koeffizienten eine recht mühsame 

 Arbeit. Ein bequemerer Weg ist der folgende, der uns darüber liechen- 

 schaft geben kann, ob eine empirisch gefundene Kurve einer ganzen 

 Funktion entspricht oder nicht. 



Wir konstruieren uns eine Funktion f, (x), die für x, den Wert y, 

 annimmt, für alle anderen x -Werte aber, wie x., Xj . . . . x„. 

 d. h. wird : 



fx — Xj") (X — X,) .... (X — Xn) 



. verschwindet" 



U (X.) = 



fX,— Xj)(X,— Xj). . . . (Xj- x„) 



Wir wissen, daß diese Funktion f,(x). die im Zahler n- 1 Linear- 

 faktoren enthält, der Formel 3) nachgebildet ist, somit den oben gemachten 

 Anforderungen entspricht. Analogerweise wird 



U{\) = 



(X — x,)(x — X^) (X--Xn) 



(x,— x,)(x, — X,) (Xo -X„l 



y. 



