Mathcinatisclie Boliaiuiluiig hiolopischcr Prolilcnie. 27 1 



ermittelt haben, und luTecliiuMi y. l-iiidcii wir niiii. daCi der •;«'{ undonc 

 Wert von >;, mit dem berechneten Wert übereinstimmt, .su folj^t unsere 

 Kurve in der Tat der j^Mnzen Funktion II. (Irades y — ax- + bx + c. Jet/t 

 wird die Formel aueli für y,, und y„ stimmen. 



Ist es hini^^egen nieht der Fall, so greifen wir 4 I)aten aus unserem 

 Versuch heraus und prüfen auf analogem Wege, ob unsere Kurve y = ax» + 

 -f bx- + ex + d gehorcht usw. 



Die allgemeine rationale Funktion. 



Bei der ganzen rationalen Funktion konstruierten wir y aus x unter 

 Anwendung der Addition, Subtraktion und Multiplikation. Nun wollen wir 

 auch die vierte Grundoperation, die Division, heranziehen, z. I». 



f(x) = 3x-— + ^ + - . . . . 



X X 



Wir gelangen somit zu Ihüchen von mehr oder weniger .kom[)lizierter 

 Form, und es ergibt sich die Frage, in welcher Weise wir eine solche all- 

 gemeine rationale Funktion des jSäheren untersuchen. 



Zunächst werden wir in solchen Fällen wie die letzte Gleichung den 

 Ausdruck ordnen und einen Generalneuner suchen. Auf diesem Wege 

 kann ich jeden Ausdruck auf die folgende allgemeine Form Ijringen : 



^ _ aeX"" + ajX"— 1 + a-^x"— - + -f ar _ f (x) 



" ~ box^ + b,x"-i + boX«-- + .... + b, ~ g(xy* 



Wir erhalten somit einen Bruch, dessen Zähler eine Funktion f(x) 

 und dessen Nenner eine Funktion g(x) ist. 



Zunächst müssen wir prüfen, ob der so entstandene llrucli wirklich 



ein Bruch ist oder nur einen solchen vortäuscht. Dieser Fall trifft zu. 



2(x 1) 



wenn der Nenner im Ziihler restlos enthalten ist, z. B. : ^ — rr=- u^*^"'" 



(x— 1) 



= ax. In diesem Falle erhalten wir eine ganze rationale Funktion. 



(x-3) 



die wir schon oben kennen gelernt haben. Dieser Fall sei somit hier au.s- 

 geschlosscn und wir nehmen an, dali ein wirklicher Bruch vorliegt. Aber 

 selbst in diesem Falle lassen sich oft bedeutende \'ereinfachungen herbei- 

 führen. Es können z. B. Zähler und Nenner einen Lremein<amen Teiler l-'- 

 sitzen: der Bruch ist reduzibel, z. B. 



f(x)=:fi(x).h(xj f(x) _ f, (xj. h(\) _ iiW) 



g(x) = gi(x) . h(x) "° g(x) ~ g, (x) . h(x) ~ g, (X)' 



hixi war in diesem Falle der grölUe gemeinsame Teiler, den wir im 

 gegebenen Falle nach den gewöhnlichen algebraischen Methoden (Methode 

 des Algorithmus von Eu/did) auffinden können. 



