272 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Angenommen, wir haben diese Vereinfachung vollzogen, und unser 

 Bruch ist irreduzibel. Jetzt kann unsere Funktion ein echter oder ein 

 unechter Bruch sein. 



Ein unechter Bruch liegt vor, wenn der Grad des Zählers r> als 

 der Grad des Nenners s. Ein echter Bruch ist vorhanden, wenn r << s. 



Echte und unechte Funktionsbrüche. 

 f (x) _ aoX"" + aiX"— ^ + agX'—- + . . . . + ar _ 



g(x) boX« + bjx^-i + box«-^ -f . . . . + b 

 x'[ao + ai — + a, — +.... a, — 



X (bo + bi-^ + b2^+ •■••bs — 



, 1 , 1 . ,1 



1 ^0 + a^ — + a2 ^ + . . . . Dr — 



^^~^ 'bo+b,^ + b,i,+ ....b,l 



1) 



1. r<;s, folglich ist s — r positiv, z.B. — ^. Es soll x wachsen, oo groß 



werden, d. h. größer als jede noch so große angebbare Zahl ; der reziproke 

 Wert von x wird in diesem Falle oo klein. Folglich nähert sich der Zähler 



der Gleichung 1) dem Grenzwerte ao, der Nenner bo, der Bruch -p^ und 



Dg 



lim -^=0. 



Ein echter Funktionsbruch verschwindet für x = cx3. 



2. r = s; wird somit = 1. Wächst x über alle Grenzen, so wird — 



oo klein und 



r f(x) ao 

 hm -^=r-r-. 



3. r>s; s — r wird negativ, z.B. _^ — xl 



f (x) „ ao + , ,. f (x) 



-44 =x'-« . -4-^ und hm —-4 = oo- 



g(x) bo + .... x^^ g(x) 



Ist der Grad des Zählers mit dem Grade des Nenners identisch, so 

 ist der Grenzwert endlich. Der letztere ist beim unechten Bruch := cc. 



Die algebraische Summe von n unechten Funktionsbrüchen 

 ist wieder ein unechter Bruch ; ein echter Bruch kann nie in die 

 Summe von unechten Brüchen zerlegt werden. 



f(x) _^ f,(x) _ f(x).g,(x) + f,(x).g(xj 



g(x) gi(xj g(x).gi(x) 



