274 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



f(x) _ Ci _^ Ca _^ C3 _^ + ^° 



g(x) X— Xi X— X2 X— X3 ■■■■ X— x„' 



wo Cj, C2, Cn konstante Werte sind. 



Damit ist unsere Aufgabe gelöst, denn eine einfachere Zerlegung als 

 in Partialbrüche, deren Zähler eine konstante Größe und deren Nenner 

 ein Linearfaktor ist, ist undenkbar. 



Der Beweis dieser Möglichkeit ist nicht schwierig: 



—TT = 7 \ . X , WO gl (X) = (x — X,) (X — Xg) (x— X„). 



g(x) (X — Xi)gi(x) >=i ^ ^ V -^y 3y ^ n; 



f(x) c 



Ich versuche, aus , ; sogleich einen Partialbruch — - — abzuziehen : 



g(x) ^ ■ X — Xj 



f(x) Ci _ f(x) — c, .gi(x) 



g(x) X— Xi (x— Xj).gi(x) ■ 



Jetzt wähle ich für die Konstante Ci , über die ich frei verfügen 

 kann, zweckmäßigerweise 



, _ JM 



' ~ g. (X,)' 



womit Cj ein für alle Male festgelegt ist. Der Zähler f (x) — Ci gi (x) aber 



f (x ) 

 nimmt für x = x, und c, = /\ den Wert Null an, d. h. er verschwindet 



gl (Xi) 



bei Xj. Folglich muß nach dem oben Gesagten: 



f (x) — Ci . gl (x) = (X— Xi) fi (x), 



denn x, ist ja eine Wurzel der Funktion f(x) — c, . g^ (x). Somit ist 



f(x) Ci ^ (x-xO.fi(x) ^ fi(x) 



g(x) (x— Xi) (x— Xi).gi(x) gi(x)* 



f (x) 

 Der neue Bruch ^ \ \ besitzt einen Nenner nur noch (n — IVten 



gl (X) ^ 



Grades Tmit den Linearfaktoren (x — X2), (x — X3, . . . . , (x — Xn)) und einen 



Zähler (n — 2)-ten Grades, ist somit wieder echt und irreduzibel. Analog 

 wird für ihn: 



AW C2 _ _f2(x) ^^^ 



gi(x) X— X2 g2(x) 



f n-2 (X) Cn-1 _ fn-l(x) „ 



7—7 — 7~^i lerner 



gn_2 (X) X — X„_i g„_i (X) 



f(n_i)(x) Cn 



gn-1 (X)) 



0. 



