Mathematische Bi-hamlhiii),' liii>h)gischer Prohli-me. 



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Die Koeffizienten der dritten Potenz: 



a — ;U)-f-d — oe = 0, fol^^licli für u = — 2, ferner h — 

 — 2 + 3e + d ;ie = Ü und d r= 2. 



Die Koeffizienten der ersten Potenz: 4a — 2b— 1 usw. 



Der Ausdruck 

 X«— 3x + 2 X"- 3\ + 2 



a 



X, = 



(Xa— 1)2 (^x— l)2(X+lj2 (X — 1)* 



M 



+ 



+ 



+ 



1 ) Cx-f- 1 1» (X + li 



X, = 1 



usw. 



Weitere Beispiele findet man in der 1 iit ej^^ral rech nun j,'. wo di<' 

 Zerlegun^i- in Partialbi'üche eine fundamentale Methode bedeutet. Hier 

 wurde sie nur dem /usammenhaui^e mit der Funkt ionslchrc /uHebe be- 

 handelt. 



Wir haben bisher y = 



f(xl 



g'X) 



sebildet. indem wir mit \ die 4 <irund- 



operationen vorgenommen haben, y war stets eine explizite Form von \. 

 Die implizite Form wäre: 



y.gi^x) — f(x) = oder allgemeiner y . fo(x) + f, (xi = 0. 



W^ir sehen, daß in dieser Gleichung y als Wurzel einer linearen 

 Funktion auftritt, in welcher fo(x) und fi(x) ganze rationale Funktionen 

 von X. die Rolle der Koeffizienten (ao. a, . . . .) übernommen haben. 



Wir können also behaupten: Tritt y in der impHziten (Jleichung als 

 Wurzel einer linearen Funktion auf, so ist v eine rationale Funktion von x. 



In der Gleichung 



y2.fo(x)-}-yf,(x)-}-fo(x) = 0, 



die in bezug auf y quadratisch ist und in der fo'xi, f, (\i und i..\i wiederum 

 ganze rationale Funktionen von \ sind, können wir eine neue Art von 

 Funktion erblicken; zu jedem Wert von x gehören l' Werte von y: die 

 Funktion ist nicht mehr eindeutii::. ^^'i" wisveii. dali 



y = 



f,(x)±l/(f,fx))« — 4fo(x)fJx) 



Mit anderen Worten: Wir bilden y aus x nicht mehr mit Hilfe der 

 4 Grundoperationen allein, sondern zu diesen tritt noch das Ifadizieren 

 (Wurzelziehen) hinzu, y ist eine irrationale Funktion von x. 



Die allgemeine Form einer solchen Funktion i^t fnltdieh : 



y°fo(x) + y"^'f,^xi-fy"-=f2(x)4- .... +y.f,._,t\i tüixi^O, 



wo fo, fi. f.: . 



n=l, 2, 3, 4 



f„ ganze rationale Funktionen von x sind, und wo 

 . . — Diese Gleichung ist alier gleichzeitig die allgemeine 



