Mathematische Bolmndlung liiolügischer rroblcmc. l\()ii 



In Worton :uisp:o(lriickt lautet die Fra^'c so: WclclM'in Werte strebt 

 der Ausdruck M n J zu, wenn n stets gröliere und gröttere Werte an- 

 nimmt, ja sogar co groli wird'.-' 



lim [l + —]°=e = 2-7 18281 82H4f)904r) 1) 



Der Orenzwert dieses Ausdruckes für n = ± c» ist eine irrationale 

 Zahl, die wir mit e bezeichnen und die als die Hasis der natürlichen 

 Logarithmen verwendet wird. 



b) lim (l + x)'«r=e 1 a) 



a = o 



Dies ist klar, denn ich kann <tatt — = n einsetzen, wo n=oo. wenn 

 a = u wird, und ich reduziere den Ausdruck auf die sub (O besprochene Form 



lim [n-|r=e. 

 n=oo 

 . ,. l0gb(i+7.l ,11 ,,^ 



c) hm = logb e = , r = -t—t- 2) 



3^_Q a logeb Inb 



Den Logarithmus der Basis e wollen wir in Zukunft mit In, d. h. 

 logar. naturalis, bezeichnen. 



„ . logb(l +7.) , ,, , vi 

 Beweis: — ^^-^ ^ = logb(l + x)a, 



7. 



] 



lim logb ( 1 + 3cj " = logb e ; 

 a = 



dj lim imi±il^_L=, 3) 



arrO '■ •'^^ 



(Denn lne= 1). 



b'" 1 1 

 e) lim = , = In b 4) 



m = "^ '^f?"^ 



Beweis: Es sei b"" l = a (wird x = (), so wird auch ra = 0); 



dann ist b"" = a + 1 



und m = logb(l + x). 



logbd + jO _ — !"_ j,.^ ^ „„,, ,„ „litoinander (• 

 X b™ — 1 



werden, ist 



li„ i^lMlllI = ÜTn ^^ und da die linke 



