Mutliematisclio BcliaiKlliing l)iologischor Probleme. ';\\'^ 



Dementsprechend ist 



da^^ra" . In :i . *\\. 



Ist die Basis a = e, so lautet die Funktion 



v=:e* 



j dy de» 



und _^= ^e^.lrre 



dx dx 



<a) 



Differential(|uotient der Funktion y^lo^'-.x. 

 ( Lo":aiithmisclH' Funktion. i 



'tD"- 



Ist y^logaX, so ist 



y + Ay = loga (X + Ax ) und Ay — \u^^ ( x + Ax ) lo};» x = 



= lüg, — — -=log„|l + — - . 



X ^ X ^ 



Der Differenzenijuotient lautet daher 



log.[l+^) ^^ 

 — Ersetzen wir durch x. 



Ax Ax ' X 



indem Ax . . 



- — = a, somit Ax = '/x, so erhalten \vir 



Ay log„(l + a) 1 



; wir wissen aber aus 2i, daü der Grenz- 



Ax a ■ X 



wert des ersten Faktors aus diesem Produkte =logae, folglich ist 



dy d loga X 1 



dx dx X 



und 



logae 8) 



dlogaX = ^ logae . dx. 



Bilden wir die Ableitung des natürlichen Logarithmus: 

 y = lnx. Es ist klar, daß 



dv 1 dlnx 1 



8ai 



ax X (IX X 



Hv 



und dlnx = 



dx X ' dx 

 dx 



X 



Weil der natürliche Logarithmus diese einfache .Vblritiing besitzt, 

 hat er seinen Namen erhalten, (dcichzeitig wird der (inind klar, wtshalb 

 man gerade die Zahl e als liasis wählt. 



ö^ 



Differentialquotienten der trigonometrisclnii Funktionen 



y = sin \ und y = cos x. 



y = sin X ; 



y-j- Ay = sin(x + Axt, Ayr=sin(x + Ax) sinx. 



