320 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Differenzierung einer Funktion durch Einführung neuer 

 Variabein (Funktion einer Funktion). 



Nach den oben dargestellten Methoden sind wir in der Lage, Aus- 

 drücke, wie eine Summe, ein Produkt oder einen Quotienten zu differen- 

 zieren, sofern jeder Summand der Summe, jeder Faktor des Produktes 

 Divisor, sowie Dividend des Quotienten an Hand der gegebenen Gleichungen 

 nach X differenzierbar sind. 



Ein neues Problem taucht für uns hingegen auf, sobald wir die Auf- 

 gabe erhalten, beispielsweise folgende Differenzierung auszuführen: 



. dsin(x + 3) 

 y = sin(x + 3), ^ ^=r' 



Wir sind nicht in der Lage, diesen Ausdruck ohne weiteres nach x 

 zu differenzieren , wohl aber nach (x + 3 ). Damit aber führen wir diese 

 Aufgabe auf folgendes Problem zurück : 



y = f (u), u = g (x), folglich y = f (g (x)). 



In Worten ausgedrückt : y ist eine Funktion der Größe u, diese 

 jedoch ihrerseits von x. also ist y die Funktion einer Funktion von x. 

 Im gewählten Beispiel ist 



y =: sin (x + 3) 



(x -f 3) = u, somit ist 



y = sin u, wo u — x + 3. 



Die allgemeine Lösung dieser Aufgabe ist folgende: 



dy _ dy du 



-22) 



y^e'"^ Auch diese Differenzierung ist für uns neu, denn wir können 

 auf Grund der gehörten Piegeln bloß y = e^ differenzieren (7a), d. h. den 

 Differentialquotienten der Exponentialfunktion nach +x bilden. Hier aber 

 müßten wir nach — x differenzieren. 



