324 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Nachdem dieser Schritt vollzogen ist, betrachten wir x = AB als 

 konstant und lassen y sich ausdehnen. Offenbar muß die gesamte Ände- 

 rung eine Summe von zwei partiellen Änderungen vorstellen. 



In unserem Beispiele ist 



dz dx dy , 



= y-^J7-+^^5r' da 



dt -^ ■ dt dt 



= y . 1 (y = konstant und -^ = 1) 



3x - • ^-^ dx 



9z dv 



— x.l (x == konstant,-^ = 1). 



Man sieht, daß sich hier recht wohl die Produktenformel 14) und 

 14a) anwenden ließe, da sich die Fläche eines Rechteckes als ein Produkt 

 ausdrücken läßt. Wir hätten 



d(F(u,v)) du dv 



— ^^ ^ = v \- u 



dx ' dx ' dx ' 



in welcher Formel man statt u : x, statt v : y und statt x : t zu setzen hätte. 



Differenzierung einer impliziten (d. h. unentwickelten) Funktion 



Wir haben soeben die Ableitung einer Funktion 



z = F(x,y) 

 gebildet, wo 



x = (p(t) und y = '^(t), 



d. h. wo sowohl X als auch y Funktionen von der Größe t waren. Wir 

 dürfen selbstverständlich auch folgenden Fall konstruieren: 



z = F(x,y), 

 wo 



x = f(x) und y = fi(x). 



Daß x = f(x) ist, versteht sich von selber; als Beispiel für y = fi(x) 

 machen wir die Annahme, daß 



y = sin (x + 3). 



z ist somit auf zweierlei Weise abhängig von x; erstens explizite 

 und weiterhin implizite, verborgen in y. Wir haben somit den Fall, daß 



z = F (^x, f (xj) und wir sehen, 

 daß in dieser Gestalt z eine Funktion von x allein ist. Die Bildung der 

 Ableitung kann hier durch Anwendung der Formel 25) erfolgen und wir 

 haben 



dz 9z dx 9z dy 



~ +-r- • ^. oder 



dx 9x ■ dx 9y ' dx ' 

 .dz _ az az dy 



dx ax ay ■ dx 



