MatliematiKcho HohaiKiliiiig Itiologinrlier I'rolilfiiio. ,'(27 



Wir diffeionzi(Mon y /uniichst nach ti und hetniditcn v als konstant, 

 dann um^^okclirt. Foli^Micli ist 



dv Ov du <>y dv , , 



-7 , (laluT 



dx öu ' (l\ Ov ' (l\ 

 dv l , 1 , 1,1 



<n — 1 ;.(— 1)=-— - + 



dx 1 + X ' l — X ' 1 + X ' 1 — X I — X« ■ 



\\ (.' i 1 1' r \' L' r a 1 1 '^r ni t' i u (■ r ii n L^ 



F(o(x), 'i/(x)) = 0. Ein ßoispiol für dioson Fall und (l<'>-i'ii r.cliand- 

 lunj^ findot sich bei dor Diskussion dci- rarahclL'lcichinii: S. i'.i'.L'. 



Bildun<i: der höhonii Ihiforcntialtinotienten. 



Die Ableituni;- einer l'unktion f \ •. d. h. i' < \ -. ist wiederum »-inf 

 Funktion von x. für welclu' alle jene Üetraciituniren (ieltnn^' besitzen, die 

 wir über die Funktionen im allji;emeinen any;esteilt haben. Insbesondere 

 wird die Abieitunjj;- wieder eine Ableitunfi; besitzen müssen. Man bezeichnet 

 diese mit f'ix). Aber auch diese Nvird wieder eine neue Funktion von x 

 sein, und wir werden f"'(xi bilden können, usw. Mit Ausnahme der }.,'anzen 

 Funktion n~''" Grades, die eine endliche (und zwar m Anzahl von Ab- 

 leituni^en besitzt, kommt den Funktionen eine unendlichf Zahl von Ab- 

 leitungen zu. Bei den ersteren, d. h. 



f(xj = y = aoX" + a, x"-' + an_, x + a„. 



ist die erste Ableituuf^- f'(x)r=y':n — 1*^° Grades, die n "■ daijeiren 

 nullten Grades in bezug auf x. d. h. eine Konstante, denn 



dv 



f (x)--^ — naoX"-'4-(n — l)a, x"--+ +a„., 



d-^v 



f" (xi = -— = (n — Ij . u . ao X " - 4- + a„_, 



^ ^ dx- 



{(n-i)(x)- ^° ';' ^n(n-^l) ;i.L>.aoX 



dx" — ' 



d " V 



f(°)(x) =r-r-^=:n(n— 1) ."'. .L'.l.a,, (eine Konstante). 



^ dx" 



Als Bei.spiel für eine Funktion anderer Art wiilihii \vir y = a" : es ist 

 dv 



dx 

 d^ 

 dx-! 



= a'^ln 



= aMii.ln da In — Konstante. S. N. TJ) 



dM 



-i-^ = aMln)» 



dx» 



d" V , 



-7-^ = a*(ln)". 



