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Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Fig. 132. 



Verallgemeinern wir diesen Satz und betrachten wir den Fall, in 

 welchem die Kurve und ihre Tangente irgendwo in der Koordinatenebene 

 stetig verlaufen (Fig. 132); es muß in diesem Falle zwischen f(a) und f(x) 



(zwei feste Punkte!) einen 

 Wert f (c) geben, bei welchem 

 die Tangente mit der Sehne 



Pi Pg parallel ist: 



ptp;, // T. 



Da die Sehne ausge- 

 drückt werden kann durch 

 den Differenzenquotienten (s. 

 S. 258), so muIJ bei Parallelität: 

 f(x) — f(a)- ^ ^. 



7-/ri; 



X — a 

 (Sehne) (Tangente) 



wo E zwischen a und x liegt. 

 Wir können nämlich ohne weiteres folgende Funktion von E kon- 

 struieren : 



g(Q = f (0(x-aj + f (x)(a-^) + f (a)(^-x). 



Nimmt in dieser Funktion E den Wert a an, so ist 



g(a)=:0. 

 Nimmt ^ den Wert x an, so ist 



g(x) = 0. 



Es gibt somit zwei Punkte, wo die Funktion verschwindet. Dann 

 aber muß nach dem oben Gesagten die Ableitung g (E) an einer Stelle 

 verschwinden, so daß also 



g © = 0. 

 Bilden wir die Ableitung von g(^). Diese ist: 

 g(E)=:f(^)(x-a)-f(x) + f(a) 



(x und a sind nach unserer Annahme konstante, feste Werte!) Folglich 

 ist, wenn g' (Q = 0, 



f (^)(x — a) = f(x) — f(a), oder 



f(^ = —^ !^, wo ^ zwischen a und x liegt, 



x — ~ a 



womit unser Satz, den man Mittelwertsatz nennt, bewiesen ist. 



2. Der Taylorsche Satz und die unendlichen Reihen. 



Jede endliche Größe läßt sich in Form einer Reihe darstellen. Nehmen 

 wir beispielsweise die Zahl 2 ; wir dürfen folgende Reihe bilden : 



^ , 11111 



2=1 H 1 1 1 H 1- 



^ 2 ^ 4 ^ 8 16 32 ^ 



