338 Egon Eichwalcl uud Andor Fodor. 



Die Summe einer solchen Reihe ist 



Sn=: 



1 



1— X" 



1— x~l— X 1— x' 



Liegt X zwischen + 1 und — 1, stellt es somit einen echten Bruch 

 vor. so wird x" bei unendlichem n gegen Null konvergieren, mit ihm aber 



auch 



1— X 



Also ist 



Sn = 



x^ 



= und S = 1 + X + x2 + x3 + in inf. = 



1 — X " ""^ ^ ^ , - , .- , - -- -j^ __ ^. 



Ist X r= — , so ist die Summe S = 2 ; ist x = — , so ist S = ^ usw. 

 Ist X kein echter Bruch, so wird die Reihe divergent werden. 



Fig. 133. 



Der Taylorscho Satz. 



Es sei eine ganze, rationale Funktion (n — 1)*^" Grades (aus äußer- 

 lichen Gründen!) gegeben: 



f(x) = Ao + AiX + A2X2 + A3X3+ +An_lX'^-l. 



Wir wollen den Versuch 

 machen, die Koeffizienten 



Aq .... An — 1 



zu berechnen. Aus praktischen 

 Gründen wollen wir statt der 

 Veränderlichen x den Wert 



h 

 X =: a + (x — a) 

 einführen, wo a eine Konstante 

 ist, und die ganze rationale 

 Funktion als eine solche von 

 (x — a) = h entwickeln. In diesem 

 Falle erhalten wir neue Koeffi- 

 zienten und wir haben: 



f(x) = Co + C,(x — a}+C2(x — aj2 + C3(x — a)3+ .... -F Cn_i (x — a)— \ 



Den Wert des Koeffizienten Co kann ich sogleich berechnen, wenn 

 ich prüfe, welchen AVert diese Funktion für x^at^annehmen wird. Ich 

 suche also f (a) ; 



f(a) = Co+04-0+ Also ist 



Co = f(a). 



Nun bilden wir die erste Ableitung von f(x), nämlich f (x): 



f(x)z=l.Ci + 2C2(x — a) + 3C,(x — a)2-h ... + (n — l)Cn_i (x — a)'-^. 



