Mathematisclie Bchandliing biologischer Prolilenie. 339 



Wir setzen wieder \=ra ein. I»:inn ist 



r(a) = C,; 



der Wert des /.weiten Koeffizienten ist also ermittelt. 

 Wir bilden f"(x): 



f"(x)=1.2.a + 2.n.C3(x — a)4-:-i.4.(x--a)»-|- 



r (a) r= 1 . 2 . V, : also ist 



r _rra)_r7a) 



Weiterhin wird 



t^^^(a)=l.i>.;i.C3, oder 



^ f" (a) f^^(a) ,,• ,„■ , 



(-■3=- — :7-T = — 57^ '""' sehlielineh 



(n— 1) (n— 1) 



p f(a) f(a) 



°~' ~ 1 . 2 . H. 4 (n - 1 ) ~ (n — 1 1: 



Setzen wir jetzt die so mit Hilfe der höheren AMeitiiniren berech- 

 neten Koeffizienten ein, so erhalten wir 



t(x) = f(a) + q^(x^a)+ ?;;^\.x-a,= + . . . + j|L',,_ar.' 1 . 



Die so gewonnene Reihe ist die Tcnjlori^cho Reihe für eine {,'anze. 

 rationale Funktion (n — 1/^" Grades. 



Wir wollen jetzt weiter gehen und den \'ersneh machen, eine beliebige 

 Funktion von x, z.B. sinx. oder e^ usw. in Foini ejner algebraischen 

 Funktion auszudrücken. 



Wir sagen allgemein : 

 f(x)r:=Co + C, ix^a) + Cj(x— a)2-f Cn_,(x-a)°-'+ 



Wenn wir in der Lage sind, den Koeffizienten (\, . . . . ('„ , solche 

 Werte zu geben, daß durch sie f(xi vollkommen bestimmt wird, dann ist 

 f(x) eine ganze rationale Funktion (n — 1)'-° (irades. 



Dann ist nach l) 



tn 1 1 



f('x) = f(a) + -^(x — a) + -^ix-a)«+ ... + ,„ _ i ,! '^ ~^'' 



Dies wird al)er allgemein nicht der Fall sein: der Wert fi.xi wird 

 um so mehr angemihert. je größer die positive ganze Zahl n ist. d. h. je 

 später die Reihe abgebrochen wird, allein bei noch so großeni n wird noch 



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