342 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Die Exponentialreihe. 



Es sei f(x) = e^ gegeben, mit der Aufgabe, die Funktion als eine 

 algebraische Funktion von x zu entwickeln. Wir benützen hierzu Glei- 

 chung 4). 



Da f (x) = f (x) = f (x) = e'' ist, erhalten wir 



X x^ x^ x*^°~"^^ 



f(x) = e^ = l + - + - + -+.., .+^-j-j^, + R, 



x° 

 wo R = — - e; f ; ist zwischen und x). 

 nl 



Dieses Restglied können wir auch wie folgt darstellen: 



^- 1 • 2 • 3 n '^- 



Es ist klar, daß durch diese fortwährende Multiplikation mit sehr 

 kleinen Brüchen e? unendlich klein und damit auch R verschwindend wird. 

 Wir lassen demnach R fort und erhalten 



f(x)==l + Y + ^ + ^+ in inf. 



Diese, nach Potenzen von x entwickelte Reihe ist somit konver- 

 gent und zwar für jeden Wert von x zwischen + oo und — oo. Mit 

 Hilfe dieser Reihe sind wir in der bequemen^ Lage, jeden Wert von 

 e"" durch Annäherung zu ermitteln; für x=l erhalten wir e, die Basis 

 der natürlichen Logarithmen. Es ist 



. . 1111 1 



Die Sinusreihe. 



Ist die gegebene F'unktion f(x) = sinx, so läßt sich für sie gleich- 

 falls Formel 4;, die Mac Laurinsche Reihe, in Anwendung bringen. Es ist 



f (xj = sin X 

 f (x) = cos X 

 f" (x) = — sin X 

 f " (x) = — cos X 

 f * (x) = sin X 

 usw. 

 Dann ist 



X^ X^ X^°~^ 



WO Rr=-^-— .f(£). 

 (2n;! ■ 



