350 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Beispiel: 



1 l „.. r^ 1 u • ln(l +x) — X ' 



V = z — ; tur X == liaben wir oo — oo ; y = — - — - — — . 



•^ X ln(l + x) ' ' "^ x.ln(l + x) 



Dieser Bruch wird für x = 0: — ; am rascliesteu kommen wir hier zum 



Ziel, wenn wir In (1 + x ) als Reihe entwickeln. Dann ist 



V 



x x2 x3 x2 x3 



y — -^ + -3-....— X ——^ — 



rx x2 , x3 ^ rx x^ > 



HT^T- + y--J HT-T + ----J 



Dividieren wir Zähler und Nenner durch x-, so erhalten wir 



_ A 31 



2 5 



V = '- und folffhch ist 



lim y = — ^• 

 x=0 ^ 



Wir kommen aber auch mit der Differenzierungsmethode zu einem 



Ergebnis. Wir setzen den Ausdruck -^, d. h. 



0_ 



, _ Infi + x) — X _ u 

 ^ ~ x.ln(l + x) ~~ 

 dann ist 



^~ -^- + ln(l + x) ~ ~(1 + ^)0^^1 + ^)) +^) ~ ^' 



1 + X V ■ / 



Da aber dieser Ausdruck für x=:0 abermals — , d. h. unbestimmt 



m' 

 wird, berechnen wir — -. 



n 



Es ist 



m' —1 



n' ln(l + x) + 2x + 2' 



Es ist klar, daß dieser Ausdruck f ür x = den Wert — — annehmen 

 wird, daß somit auch 



u ,. u' ,. m ,. m' 1 



hm y = hm — = hm — - = hm — = lim — - = -. 



x = x = ^ x = ^ x = ^ x=0 ^ ^ 



