352 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Maximum in bezug auf die nächste Umgebung von a auftritt, daß 

 dieser Wert fia) jedoch keineswegs dem absolut größten Wert entspricht, 

 den die Funktion überhaupt annimmt , da zu b ein weit größerer Wert 

 f(b) gehört. Wir wollen unter einem Maximum jenen größten Wert ver- 

 stehen, den eine Funktion in einem bestimmten Intervalle, das wir ent- 

 sprechend wählen, annimmt, und eine analoge Definition für ein Minimum 

 voraussetzen. Wir wollen dieses Intervall in der allernächsten Umgebung 

 von a festlegen, etwa um das Stückchen S rechts und links von a ent- 

 fernt, somit zwischen a — ^ und a-f ^. 



Nachdem wir auf diese Art eine Definition des Maximums und 

 Minimums vorausgeschickt haben, ist es einleuchtend, daß wir ein Maxi- 

 mum überall da vorfinden werden, wo es mögUch sein wird, ein Intervall 

 (a — S) bis (a-|-8j so abzugrenzen, daß für jeden x-Wert in diesem Inter- 

 vall f(xj — f(a) negativ ist, oder 



f(x) — f(a)<0. 



Ist diese Differenz positiv, ist 



f(x) — f(a)>0, 



so w'erden wir im gleichen Intervalle ein Minimum haben. Das Kriterium 

 der beiden Kulminationspunkte liegt also in der Entscheidung des Vor- 

 zeichens dieser Differenz im besagten Intervalle. 



Zunächst werden wir die erste Ableitung der Funktion = Null setzen : 



^» 



f(x) = 0. 



Nunmehr müssen wir alle Wurzeln dieser Gleichung berechnen, denn 

 für jede derselben wird sich ein Kulminationspunkt ergeben müssen. Es 

 seien diese 0-SteIlen a, a^, a., . . . . Jede einzelne derselben ist zu unter- 

 suchen, d. h. für jede derselben ist das Vorzeichen der Differenz f (x) — f (a) 

 zu ermitteln. Wir beginnen mit a und suchen f (x j — f (a). Diese Differenz 

 ergibt sich sofort aus dem Tai/Iorschen Satz : 



f(x)-f(a; = ij^(x-a)+iA:^(x-a)^ 



wo c laut früheren Definitionen (S. 336) zwischen a und x liegen soll. Wir 

 sehen, daß wir das zweite Glied auf der rechten Seite der Gleichung als 

 Restglied der Ta3//orschen Reihe eingesetzt haben. Da gemäß unserer 

 Voraussetzung 



ö 



f(a) = 

 ist, so ist die Differenz 



f(x)-f(a)=-li^(x--a^ 



Das Vorzeichen der Differenz f(x) — f(a) wird somit einzig und allein 

 vom Vorzeichen von f"(;) abhängig sein, da (x — a)^ auf alle Fälle positiv 



