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Egon Eich wähl und Andor Fodor. 



Fig. 142. 



Auch hier prüfen wir statt i'" (c,) einfach i'" (a) in bezug- auf das 

 Vorzeichen , denn auch hier gelten die vorhin gebrachten Überlegungen. 

 Wenn wir uns über die Bedeutung- von fx — a) klar sind, so werden wir 

 sogleich begreifen, daß, falls 



f-(a)>0, 



d. h. positiv oder negativ ist. weder ein Ma.ximura noch ein Minimum in 



a herrschen kann. Fig. 142 zeigt, daß beim llDer- 

 gange durch a die Differenz (x — a) ihr Vorzeichen 

 unbedingt wechselt. Folglich muß (x — a)^ sowohl 

 positiv als auch negativ sein können und dement- 

 sprechend auch f(x) — f(a). 



Ist ferner f" (a) = 0, so suchen w.ir die Ent- 

 scheidung bei der vierten Ableitung, f(*Haj. 



Wir gelangen auf Grund dieser Angaben zu 

 folgendem Verfahren: 



Man prüft zunächst alle jene Stellen, für 



welche 



f ' (x ) = 



a^. Jetzt wählt man eine derselben aus (a), bildet 



<X <x «JC 



ist, also a, a^, a., . . 



f" (x) und setzt darin a ein. 



Ist 



a) f (a)>0 



b) f"(a)<0 



c) i" (a) = 



in a herrscht Minimum, 

 in a herrscht Maximum, 

 man prüft f" (a). 



Ist 







aj f'"(a) > 

 b) i'" (aj = 



weder Maximum noch Minimum in a. 



man prüft f <*^(a). 

 usw. 



Eine definitive Entscheidung bringt jene Ableitung, die zum ersten 

 Male nicht verschwindet. Ist diese 



aJ eine geradzahhge, so ist Kulmination vorhanden; 



b) eine ungradzahlige, so herrscht keine Kulmination in a. 



Wen de- (Inf lexions-) Punkte. 



Die zuvor erörterten Kulminationspunkte dürfen wir auch rein 

 geometrisch formulieren: ein Maximum oder Minimum entsteht, wenn die 

 Tangente der Kurve (in einem bestimmten Intervalle) algebraisch stetig 

 ab-, bzw. zunimmt und einmal parallel zur x-Achse wird. 



Fig. 143 zeigt, daß das Bogenmaß des Winkels t mit wachsendem x 

 stets kleiner und kleiner, endüch Null wird und dann, mit negativen Vor- 

 zeichen, ständig wächst. Wir erhalten etwa folgende Kurve der Tangente: 



