Matlicmatische Bt'liuiidliiiig bioloj^igclicr I'rolilciiHv 3ßJl 



deren Differriitial t'ixxlx ist. Man bozoiclmot diese OiK-ratioii tiurcli das 

 sogenannte Intej^ralzeiclien /. ein lantriie/.ojj'enes S. da. ww wir so^'l<'i«'h 

 sehen werden, die Inti'gration ancli als die Snniinicrun!.' yoii nnt-ndlnh 

 vielen, nnendlieh kleinen (iröHcn aufgclat'tt werden kann Wt-ndt-n \Mr das 

 Integralzeichen anf die uhige (Heichung an. so erhalten wir 



./df(xi=:j'f'(.\jd\. 



Dies soll gleich t(.\) sein, .^o daü /df(x) = f(.\) ist. mit anderen Worten: 

 Differentiation und Integration sind zwei en ttregengeset/tt* 

 Operationen, die sieh gegenseitig aufhei)eii. elienso wie Addition un<l >nl)- 

 traktion. Multiplikation und Division odei- Potenzieren und Wurzelzielien. 

 Man kann deshalb die Richtigkeit einer ausgeführten Integration dadurch 

 prüfen, daß man den erhaltenen Au.sdruck differenziert. Danii mnl'. man das 

 unter dem Integralzeichen stehende Differential wieder erhalten. I.^t also 



,fi'(\)d\ = i(\), so ist df(x)r=f'(xi.dx. 



Ks winl gut sein, dies zunächst an einigen lJei.^pielen zu erläutern. 



Beispiele. 



l.Es sei f(x)=:4x. 



Dann ist dfi x ) = f '( x)dx = 4 . dx. 



4x ist also die Funktion, deren Differential 4 . dx ist: 



demnach / 4dx — 4x. 

 2. Es sei f( x) = 3x*. 

 Folüflich 



df(x)=:f (x)dx" 12x^(1. \. da 



dx 



Demnach ist 3 x^ die Funktion, deren Differential 12\'d\ ist. d. h 



/■l2\-'dx = ;'. X*. 



Wenn in dem letzten Heispiel fix) statt :\\* den Wert .'.x' + Chat. 

 wo C eine Konstante bedeutet, so ist das Differential ebenfalls gleich 



\-> \^ Es i.st -^l2^^^—tii— 12 x^ da (las Diffen-iitial eiii.-r Konstante L'leich 



d X 

 Null ist. Infolgedessen ist auch 3x* + C ein Integral von 12 x^ Im aU» 

 das allgemeine Integral von 12x'd\ aufzuschreiben, müssen wir noch dte 

 unbekannte Konstante (' hinzufügen: 



/ l-_>x^lx = H\*-f-r. 



l)a> Inte-zral liai .Icnmach unendlich viele W.-rte. aber diese un- 

 endlich vielen Werte haben nur al-ebraisch einen Miin. Für ein l»cstimmte.s 

 niiturwis.senschaftliches Problem hat die ..Integrationskonstante f. 

 wie man sie nmut. allemal einen Werf, «len man au> .ler Natur der bo- 



