366 Egon Eichwald und Aiulor Fodor. 



Dann ist BB'C'D = vAx + Dreieck BCD. 



Die ganze Fläche setzt sich aus der Summe dieser Parallelstreifen 

 zusammen. Also: 



F = }i^ y A X + Summe der Dreiecke. 



Geht man nun zur Grenze über, d. h. werden die Streifen unendlich 

 viele, so wird die Summe der Dreiecke unendlich klein und kann vernach- 

 lässigt werden. Demnach: 



lim F = lim -y.Ax = i^ydx. 



F war andrerseits =yydx. 



Also ist wydx=:/ydx, d. h. das Integral ./ydx kann als die Summe 

 der unendlich vielen, unendUch schmalen Streifen -y . d x betrachtet werden. 



Selbstverständlich ist man nicht an diese geometrische Vorstellung 

 gebunden, so sehr sie auch das ^'erständnis des Integrals erleichtert. 

 Algebraisch ist ydx eine unendlich kleine Zahl. Von diesen unendlich 

 kleinen Zahlen bildet man eine aus unendlich vielen Gliedern bestehende 

 Summe, und diese Summenbildung ist es eben, die man rechnerisch durch 

 die Integration ausführt. 



■'0-" 



Die naturw^issenschaftliche Bedeutung des Integrals. 



Die naturwissenschaftliche Bedeutung der Integration erhellt aus 

 folgendem : 



Bei jedem naturwissenschaftlichen Problem handelt es sich darum, 

 zwischen zwei oder mehr Variabein eine Beziehung zu finden, z.B. y=:f (x). 

 Es ist nun häufig möglich, durch theoretische Betrachtungen festzustellen, 

 wie sich y ändert, wenn sich x um d x ändert. Mit anderen Worten, man 

 kennt dy = f'(x) dx. 



Durch Integration kann man aus dieser Gleichung y selbst als 

 Funktion von x finden, so daß man eine Beziehung zwischen den endlichen 

 Werten y und x erhält. 



Um den Wert der Integralrechnung gegenüber den Methoden der ele- 

 mentaren Mathematik zu erkennen, betrachten wir folgende Fälle (s. Fig. 162). 



Es sei V die Geschwindigkeit beim freien Fall zur Zeit t. g ist die 

 Beschleunigung durch die Schwere. Dann ist die Änderung dv, die v zur 

 Zeit t in A erfährt, proportional der Zeit dt und ebenfalls proportional g. 

 Also dv = gdt. 



dt bezeichnet man als das Zeitelement, dv als das Geschwindig- 

 keitselement, allgemein das Differential einer physikalischen Größe als 

 ihr Element. So lange nun g eine konstante Zahl bleibt, wie im Fall der 

 Schwere, ergibt sich aus der Fig. 162 v = gt. 



t ist in der Fig. die Abszisse, g die Ordinate, während die gesuchte 

 Funktion v durch die Fläche AA'BB' dargestellt wird. 



Wenn nun aber g selbst von der Zeit t abhängig ist. d. h. sich 

 mit ihr ändert, so wird die gesuchte Fläche v durch eine Fläche von der 



