o70 Egon Eichwald und Aiidor Fodor. 



Es ist nämlich 



f (x) dx + g' (x) dx = d [f (x) + g (x) + C]. 



Also a) f [f ' (x) dx + g' (x) dx] = f (x) ■+ g (x) + C. 



Nun ist/f(x)dx = f(x) + C, 

 /g'(x)dx = g(x) + C2 

 Also h) fi' (x) dx + jV (s) dx = f (x) + g (x) + C, + a. 

 Da alle Konstanten willkürlich sind, so erhält man aus a) und b) 



/[f (x)dx + g'(x)dx] =./f (x)dx + jV(x)dx, 



in Worten: Das Integral einer Summe von Differentialen ist gleich 

 der Summe der Integrale der einzelnen Differentiale. 



Wir sind jetzt bereits in der Lage, die Integrale aller ganzen ratio- 

 nalen Funktionen zu bilden, aller solchen Funktionen also, die durch 

 die drei ersten Grundoperationen gebildet werden. 



7. j (ax™ + bx° " cx2) dx. 

 Es ergibt sich 



j^ax^ + bx'^ — cx2)dx=: j'ax™dx + /bx'' . dx — /cx2dx = 



Xni + 1 ^ — X° + l -X3. 



m+ 1 n + 1 3 



8. Es soll /— ^ gebildet werden. 

 Wendet man Formel 3 an, so erhält man 



I- 



^=/x-.d. = ^^i^x-... + C=| + c4 + C. 



Dies Integral ist weiterhin = oo + C. Da man für C den Wert — oo 



rdx 

 einsetzen kann, so erhält man /— ^ = + oo — oo, d. h. ein unbestimmter 



Ausdruck, den man erst näher ermitteln muß. Man kann dies auf folgende 

 Art erreichen: 



In Formel 3 setzt man statt C den Wert + C^. Dann wird 



n+ 1 



/x^dx^-^x^+' + C ^ 



n+ 1 n+1 



+ C'. 



n-(- 1 



^n + l l x» 1 



Setzt man jetzt n = — 1, so wird -— \- C' = — + C 



"' n-H 1 — 1 + 1 



