Matbcniatisclic BeliundluDg liiulogischer I'rulil<>nic. 



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Hier läßt sich der iinbestiiuiiite Ausdruck für lim u 



n+ 1 



1 



nach den auf S. ;Uö ahfjcleitcten Hefieln berechnen, wdlici /u beachten ist, 

 daß die Variable n und iiiclit etwa x ist. 



Das Differential des Zahlers nach n lautet: 



d(x" + i — l)=:x° + Mnx .du (vf^l. S. all»). Das Differential des NciiniTS: 



d(n+ 1) = 1 . du. 



Also ist 



x"+i— 1 ,. X"-' ' . Inx x" . Inx 

 lim z — = liui : = — — in X. 



n = -^-l 



n+ 1 



n = — 1 



1 



1 



Es folgt demnach 



J 



In der Tat ist dlnx = 



X 



dx 



Wir sehen also, daß Forme! :\ auch für den Kall, daß n = — 1 ist, 

 gültig ist, aber infolge der Unbestimmtheit des zuniichst entstehenden 

 Ausdrucks einer Umgestaltung in der angegebenen Weise bedarf. 



9. Bisher hal)en wir nur solche Differentiale integriert, in denen die 

 Variable x als Faktor auftrat. Jetzt wollen wir das Differential e^dx und 

 a^dx integrieren, in dem x als Exponent auftritt. 



Es ist d(e^):=e^dx. 



Hier ist e die Basis der natürlichen Logarithmen. 



P'erner ist d (a-^) = a"", . In a . dx. 



Aus diesen beiden (deichungen folgt sofort: 



jVdx = e'' + C 



/a'-' . hl a . dx = a" -I- C mid 



In a 



1 0. a) d sin x = cos x . dx. 

 Folglich J cos X . dx =1 sin x + C, 

 h) dcosx = — sinx.dx. 

 Folglich /sin x dx =: - cos x + C. 

 Es war ferner 



dx 



11. d(tgx)= z — • 



^ " cos^x 



Also 



dx 



J cos ^ X 



(IX 



h) d(cotgx)= - . „ . 



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