372 Egon Eichwald und Audor Fodor. 



dx 



Also 



/ -^ = — cotg X. 

 Jsin-x 



12. Schlielilich seien noch die Integrale erwähnt, die aus den Diffe- 

 rentialen d(arcsinx) und d(arctgx) folgen. 

 Es war 



a) d (arc sin x) = 



dx 



ir= 



.-2 



X 



Also I 2-2 = ^^^ *8" -"^ + C- 



Also / , = arc sin x + C. 



J \ i— x^ 



b) d(arctgx) = ^-|^2. 

 • dx 



Dies sind im wesentüchen die Formeln, die man durch die Um- 

 kehrung der Differentialformeln abzuleiten vermag. Es steht natürlich nichts 

 im Wege, noch zahlreiche andere Integrale in dieser Weise festzustellen, 

 indessen ist es in sehr vielen Fällen möglich, komplizierte Integrale auf 

 eine der obigen Formen zurückzuführen. Hauptsächlich sind es drei Me- 

 thoden, nach denen dieses geschieht: 



1. Die Substitutionsmethode. 



2. Die Methode der partiellen Integration. 



3. Die Methode durch Zerlegung des zu integrierenden 

 Ausdrucks. 



Wir werden im folgenden diese drei Methoden näher betrachten. 



Die Substitutionsmethode, 



Sie besteht darin, daß man an Stelle der ursprünglichen Variabein x 

 eine neue Variable einführt und dadurch eine solche Umgestaltung des 

 Differentials erzielt, daß die direkte Integration möglich wird. Naturgemäß 

 ist es hierbei von großer Bedeutung, solche Substitutionen in praktischer 

 Weise auszuführen. Aus der großen Zahl der nach dieser Methode ge- 

 lösten Integrale wollen wir einige der wichtigsten betrachten. 



r dx 



1. Es soll bestimmt werden / . 



J a + x 



Man setzt a + x = t. 



Dann wird dt = d (a -f- x) = dx. 



Also J-^=f^ = Int + C (Seite 370). 



Demnach ist / =ln(a + x) + C. 



Ja-hx ^ 



r dx 



2. Auf die gleiche Art läßt sich / bestimi 



«y X — a 



imen. 

 J X — a 



X — a =: t. 



